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特定指數的費馬大定理的證明

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費馬大定理完整證明是一個艱深的過程,但是,對於某些特定指數n,其證明並不算十分複雜,因此在此展示費馬大定理的特例證明。

n=4

證明沒有全不為0的整數解。

預備知識

假設x,y,z是滿足的一組互質的整數解,那麼存在互質的整數a,b,使得

證明過程

1

假設(x,y,z)為方程一個解並且x,y互質,y為偶數,則,其中,a、b互質,a、b的奇偶性相反。由得a必定是奇數,b必定是偶數。

2

另外,亦得,再從此得,其中,c、d互質,c、d的奇偶性相反。

3

最後有,由此得c、d和為平方數。於是可設,即。換句話說,(e,f,g)為方程的另外一個解。但是,。就是說如果我們從一個z值出發,必定可以找到一個更小的數值 g,使它仍然滿足方程。如此類推,我們可以找到一個比g更小的數值,同時滿足上式。但是,這是不可能的!因為z為一有限值,這個數值不能無窮地遞降下去!由此可知我們最初的假設不正確。

所以,方程沒有正整數解。