泰勒斯定理:如果AC是直徑,那麼∠ABC是直角。
泰勒斯定理(英語:Thales' theorem)以古希臘思想家、科學家、哲學家泰勒斯的名字命名,其內容為:若A, B, C是圓周上的三點,且AC是該圓的直徑,那麼∠ABC必然為直角。或者說,直徑所對的圓周角是直角。該定理在歐幾里得《幾何原本》第三卷中被提到並證明[1]。
泰勒斯定理的逆定理同樣成立,即:直角三角形中,直角的頂點在以斜邊為直徑的圓上。
證明
證法一
以下證明主要使用兩個定理:
設O為圓心,因為OA = OB = OC,所以△OAB和△OBC都是等腰三角形。因為等腰三角形底角相等,故有∠OBC = ∠OCB,且∠BAO = ∠ABO。設α = ∠BAO,β = ∠OBC。在△ABC中,因為三角形的內角和等於180°,所以有
![{\displaystyle \alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta =180^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6245aec076d416c7a2f8b712222dc149db686370)
![{\displaystyle {2}\alpha +{2}\beta =180^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64dc71fa98867e4e9f13645646ac711649f3797f)
![{\displaystyle {2}(\alpha +\beta )=180^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c795e0a57bf0cd9d06f270a68726093619264d)
![{\displaystyle \therefore \angle ABC=\alpha +\beta =90^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8309bac1e45a2c3e4cf27ce7577112e8b7f3a1)
證法二
泰勒斯定理也可以用三角學方法證明,證明如下:
令O =(0, 0), A =(-1, 0), C =(1, 0)。此時,B就是單位圓
上的一點。我們將通過證明AB與BC 垂直,即它們的斜率之積等於–1,來證明這個定理。計算AB和BC的斜率:
![{\displaystyle m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44afbb686f5843c0db9256107cd5f5ac70f3e1b7)
![{\displaystyle m_{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a89e1d37efe4c9fea213f4d47db030b0a7e4223)
並證明它們的積等於–1:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\=&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\=&-1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d3ccc51242b1f0ffd85aa1f73123bb246bf025)
注意以上證明過程中運用了畢達哥拉斯三角恆等式
。
逆定理的證明
此證明使用兩線的向量形成直角三角形,若且唯若其內積為零。設有直角三角形ABC,和以AC為直徑的圓O。設O在原點,以方便計算。則AB和BC的內積為:
![{\displaystyle (A-B)\cdot (B-C)=(A-B)\cdot (B+A)=|A|^{2}-|B|^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950a27669b01a59706ce278f8c487dc3703a4165)
![{\displaystyle |A|=|B|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c27e93c3388b53e40f74667c7471365e3dbc47)
故A和B與圓心等距,即B在圓上。
一般化以及有關定理
泰勒斯定理是「同弧所對的圓周角是圓心角的一半」的一個特殊情況。
以下是泰勒斯定理的一個相關定理:
- 如果AC是一個圓的直徑,則:
- 若B在圓內,則∠ABC > 90°
- 若B在圓上,則∠ABC = 90°
- 若B在圓外,則∠ABC < 90°
歷史
泰勒斯並非此定理的首名發現者,古埃及人和巴比倫人一定已知這特性,可是他們沒有給出證明。
參考文獻