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概形

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概形(英語:scheme)是代數幾何學中的一個基本概念。概形是由亞歷山大在他1960年的論文《代數幾何基礎》中提出的,其中一個目的是為了解決代數幾何中的一些問題,例如威爾猜想英語Weil conjectures[1] 。建立在交換代數的基礎之上,概形理論允許使用拓撲學同調代數中有系統的方法。概形理論也將許多代數幾何和數論的問題統一,這也使得懷爾斯得以證明費馬最後定理

定義

給定一個局部賦環空間,如果對的一個開集仿射概形,稱仿射開集

一個局部賦環空間稱爲概形,如果的每一點都有仿射開鄰域,即包含的仿射開集。

直觀上說,概形是由仿射概形粘起來得到的,正如流形是由歐幾里得空間粘起來得到的。

兩個概形之間的態射就是它們作爲局部賦環空間的態射。

概形範疇

全體概形構成範疇,其態射取為局部賦環空間之間的態射(另見概形的態射英語morphism of schemes)。給定概形,所謂之上的概形(又稱-概形)即是概形間的態射。交換環上的概形即是態射

上的代數簇可定義為上的滿足特定條件的概形,但對於具體何種概形可稱為簇,有不同約定,其中一種定義為之上有限型英語Morphism of finite type分離概形。[2]

態射確定了正則函數環上的拉回同態。對於仿射概形,此構造給出概形態射與環同態之間的一一對應。[3]此意義下,概形論包含了交換環論的全部內容。

由於交換環範疇英語category of commutative rings始對象,概形範疇對應以終對象。對於交換環上的概形,所謂值點即是態射截面英語section (category theory),全體值點的集合記作,其對應的古典概念是定義的方程組在中的解集。若實為域,則亦稱為-有理點英語rational point集。

推而廣之,設有交換環,其上有概形和交換代數,則值點定義為之上的態射(該態射需要與射向的態射組成交換圖表),值點的集合記作。(類比到方程組的情況,相當於將某個域擴張,再考慮中的解集。)固定及其上的概形時,映射為自交換代數範疇至集合範疇的函子上的概形可從此點函子英語functor of points確定。[4]

概形的纖維積英語fiber product of schemes總存在:對任意兩態射,皆可在概形範疇內找到纖維積(即範疇學拉回)。若為域上的概形,則兩者在上的纖維積可以視為-概形範疇中的積,例如仿射空間上之積正是

由於概形範疇既有纖維積,又有終對象,其有齊全部有限極限

歷史

概形的概念是由亞歷山大·格羅滕迪克在20世紀50年代引入的。一開始稱為「預概形」(法語:préschéma,英語:prescheme),1967年左右改稱現名。

概形的中文名稱源自日文「概型」。

  • 仿射概形的開子集不一定仿射,因此需要考慮(非仿射的)一般概形。例如,設(基域取複域為例),則當時,不為仿射。(但對於的情況,仿射直線挖去原點,同構於仿射概形。)欲證非仿射,可以證出當時,上的每個正則映射,皆可延拓至上。(對正則映射較易證明;對解析函數,則是複分析的哈托格斯延拓定理英語Hartogs's extension theorem)。換言之,嵌入導出自的環同構。假若仿射,將由此得出本身亦為同構,但不為滿射,矛盾。因此,概形不為仿射。[5]
  • 為域,則可數積的譜為仿射概形,底下的拓撲空間為正整數集(離散)的斯通-切赫緊化,因為質理想與正整數集上的超濾子一一對應:超濾子對應質理想

    特別地,正整數對應的主超濾子,對應的質理想是[6]本例仿射概形為零維空間,故而每點自成一個既約分支英語irreducible component。由於仿射概形皆擬緊,本例是擬緊但具有無窮多個既約分支的概形。(諾特概形英語Noetherian scheme則與之相對,衹有有限多個既約分支。)

參考文獻

  1. ^ Introduction of the first edition of "Éléments de géométrie algébrique".
  2. ^ Stacks Project, Tag 020D, [2022-11-01], (原始內容存檔於2022-11-01) .
  3. ^ Hartshorne 1997,Proposition II.2.3.
  4. ^ Eisenbud & Harris 1998,Proposition VI-2.
  5. ^ Hartshorne 1997,Exercises I.3.6 and III.4.3.
  6. ^ Arapura 2011,section 1.

參見