格羅滕迪克伽羅瓦理論

數學中，格羅滕迪克伽羅瓦理論（Grothendieck's Galois theory）是域的伽羅瓦理論的一種抽象方法，為代數幾何背景下研究代數拓撲的基本群提供了一種方法，大約發展於1960年前後。格羅滕迪克伽羅瓦理論在經典域論背景下提供了一種不同於埃米爾·阿廷的線性代數視角，後者在1930年代成為標準。

亞歷山大·格羅滕迪克的方法關注範疇論性質，是定投射有限群（profinite group）G的有限G集合範疇的特徵。例如，G可能是表為${\hat {\mathbb {Z} }}$的群，是循環加性群$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$的逆極限，或等價於有限索引的子群拓撲的有限循環群Z的完備化。因此有限G集是有限集X，其上的G通過商有限循環群作用於X，從而通過給出X的某種置換來指定它。

在上面的例子中，通過把${\hat {\mathbb {Z} }}$看做任意有限域F在F上的代數閉包${\bar {F}}$的投射有限伽羅瓦群${\rm {Gal}}({\bar {F}}/F)$，可以看出其與經典伽羅瓦理論的聯繫。即，當在F上取越來越大的有限分裂域時，固定F的${\bar {F}}$的自同構由逆極限描述。觀察去原點複平面的單位圓盤的覆疊空間時，就會發現其與幾何之間的聯繫：通過復變量z考慮，圓盤的$z^{n}$映射實現的有限覆蓋對應去心圓盤基本群的子群n.Z。

格羅滕迪克理論發表於SGA1，展示了如何從纖維函子$\Phi$重構G集範疇，在幾何情景中，纖維函子$\Phi$將覆蓋的纖維置於固定基點上（作為集合）。事實上，已證明有同構類型

$G\cong {\rm {Aut}}(\Phi ),$

後者是$\Phi$的自同構群（自自然等價）。我們給出範疇的抽象分類，其中給出到集合範疇的函子，這樣就可以識別G投射有限的G集範疇。

為了了解這如何應用於域的情形，必須研究域的張量積。拓撲斯理論中，這是原子拓撲斯研究的一部分。

另見

• 淡中範疇
• 纖維函子
• 遠阿貝爾幾何

參考文獻

• Grothendieck, A.; et al. SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961. Lecture Notes in Mathematics 224. SpringerSphiwe Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-36910-3. arXiv:math/0206203 . 
• Joyal, André; Tierney, Myles. An Extension of the Galois Theory of Grothendieck. Memoirs of the American Mathematical Society. 1984. ISBN 0-8218-2312-4. 

• Borceux, F.; Janelidze, G. Galois theories. Cambridge University Press. 2001. ISBN 0-521-80309-8.  (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
• Szamuely, T. Galois Groups and Fundamental Groups. Cambridge University Press. 2009. ISBN 978-1-139-48114-4. 
• Dubuc, E.J; de la Vega, C.S. On the Galois theory of Grothendieck. 2000. arXiv:math/0009145 . 

• Caramello, Olivia. Topological galois theory. Advances in Mathematics. 2016, 291: 646–695. arXiv:1301.0300 . doi:10.1016/j.aim.2015.11.050 .