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本原元定理

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數學中,本原元定理精確刻畫了什麼時候對於一個域擴張E/FE可以表示為的形式,即E可以由單個元素生成。

定理

一個有限擴張E/F有本原元,即存在使得,若且唯若EF之間只有有限個中間域。

證明

如果有限域,由於有限擴張,推得也是有限域。但是由於有限域的乘法群是循環群,任取這個乘法群的一個生成元,可以由這個生成元生成。所以在是有限域的情況下,定理左右兩邊恆為真。

如果是無限域,但是只有有限個中間域。 先證明一個引理:假設並且之間只有有限個中間域,那麼存在一個使得。引理的證明如下:當取遍的時候,對於每一個可以做一個中間域。但是由假設,只有有限個中間域,因此必定存在使得。由於都在這個域裏,推得也在這個域裏。由於,推得在這個域裏,於是也在這個域裏,因此,於是。引理證畢。

由於有限擴張總是有限生成的,推得(對於)。利用歸納法以及引理可以得出,如果之間只有有限個中間域,那麼可以由單個元素生成。

而如果,假設上的極小多項式是任意一個中間域,上的極小多項式。顯然。由於域上的多項式環唯一分解環只有有限個因子。而對於每一個,如果寫作,並令。顯然的一個子域,因此上依然是不可約的。而同時,因此可以得到。這樣立即推,於是任何一個中間域對應唯一的一個的因子。於是中間域個數小於因子的個數。但因子個數是有限的,因此中間域個數有限。證畢。

推論

  • 由於有限可分擴張只有有限個中間域,由本原元定理立刻推出這個擴張有單個生成元

參見

參考文獻