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有界函數

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有界函數(紅色)和無界函數(藍色)的示意圖。可以看到,有界函數的圖形保持在(虛線)水平帶內,而無界函數的圖形不保持在水平帶內。

數學中,如果在某個集合上定義的具有實數複數值的某個函數值域有界集合,則函數被稱為有界的(或有界函數)。換句話說,存在實數,使得對於集合中的所有,都有。有時,如果對於集合中的所有,都有,則函數稱為上有界的就是它的一個上界;如果對於集合中的所有,都有,則函數稱為下有界的就是它的一個下界。

一個特例是有界數列,其中是所有自然數所組成的集合。所以,一個數列 是有界的,如果存在一個數,使得對於所有的自然數,都有

例子

  • 所定義的函數是有界的。如果正弦函數是定義在所有複數的集合上,則不再是有界的。
  • 函數不等於−1或1)是無界的。當越來越接近−1或1時,函數的值就變得越來越大。但是,如果把函數的定義域限制,則函數就是有界的。
  • 函數是有界的。
  • 任何一個連續函數都是有界的。
  • 狄利克雷函數:當有理數時,函數的值是0,而當無理數時,函數的值是1。這個函數是有界的。有界函數並不一定是連續的。

參見