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普拉托問題

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普拉托問題(英語:Plateau's problem)是數學中與極小曲面有關的一類問題,旨在研究在邊界固定時極小表面的存在性。此問題最早由18世紀的法國數學家拉格朗日在1760年提出。而之後比利時人約瑟夫·普拉托在19世紀進行了大量關於皂液膜肥皂泡)的實驗,並總結出了一些與極小曲面以及此問題有關的定律(普拉托定律)。普拉托問題是變分法研究的一個分支。普拉托問題中的極小曲面的存在性以及其正則性(是否可微,是否光滑等等)是幾何測度理論的研究對象。 數學家們首先從解決普拉托問題的各種約束下的特殊情況開始。1930年,傑西·道格拉斯蒂波·拉多得到了在映照(浸入)參照下的一般解。兩人的方法有很大差別。拉多的方法建立在加尼爾的工作上,只能證明邊界為可求長的簡單閉曲線的情況。道格拉斯則運用了全新的思路,對任意的簡單閉曲線都適用。兩人的方法都包括了求解最小值問題,不同之處為道格拉斯最小化的對象是現在稱為「道格拉斯積分」的積分式,而拉多最小化的對象是類似於保守場的「能量」。道格拉斯因這方面的工作獲得了1936年的菲爾茲獎.

更高維度空間中的普拉托問題(關於n維歐幾里得空間中的k維曲面上極小曲面的問題)比三維空間中曲面的普拉托問題更為困難。不僅如此,與三維空間中曲面的普拉托問題的解總是正則的特性不同,研究發現擴展到高維空間中的普拉托問題的解在 k ≤ n − 2 可能出現不規則的奇點。當曲面是超平面的時候(即曲面維度 k = n − 1 的時候),則只在空間維度 n ≥ 8 的時候解會出現不規則的奇點。

參見

參考來源