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支撐函數

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在數學領域內,的一個非空的閉凸子集支撐函數,描述了從的支撐超平面(supporting hyperplane)到原點的距離。上的一個凸函數。任意一個非空的閉凸子集都可以由它的支撐函數唯一確定。進一步地,作為集合上的函數,與這個集合上許多幾何變換是相容的,比如伸縮變換、平移變換、旋轉變換以及閔可夫斯基和。因為具有這些性質,支撐函數是凸分析或凸幾何中最基礎與重要的概念。

定義

的非空閉凸子集的支撐函數是:

,其中

下面的性質並不要求集合A是閉且凸的:在有界時,集合表示最小的包含A的閉的半空間(half-space);進一步地,集合就是A的支撐超平面(supporting hyperplane)。[1]

原點到A的支撐超平面的距離滿足這樣的關係:。取x 的模為1 就利用A的支撐函數描述了A的支撐超平面到原點的距離。

例子

  • 單點集的支撐函數:
  • 單位球的支撐函數:
  • A為從a-a的線段,則有:

引用

  1. ^ Bauschke, Heinz H; Combettes, Patrick L. Convex Analysis and Monotone Operator Theory in HilBert Spaces. Springer New York Dordrecht Heidelberg London: Springer. 2011: 109. ISBN 978-1-4419-9466-0.