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戴德金分割

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戴德金分割(英語:Dedekind cut)是數學中對於全序集的操作。對於給定的全序集及其中某個元素而言,將分拆為兩個非空集合,使得兩者其一中所有元素(按照順序)均在之前、另一真子集中所有元素均在之後。

常見的是對於全體有理數的操作,即。對於有理數,將有理數集合分拆為兩個非空集合,若滿足條件:

  1. ,關係式必有且只有一個成立。
  2. ,必有,並且兩者在不同時取等號時均成立。

則稱這樣的分拆為有理數的一個戴德金分割,記為。其中集合稱為戴德金分割的下組,集合稱為戴德金分割的上組

分類

根據戴德金分割中是否有最大數、最小數,可以將戴德金分割分為三種類型:

  1. 中有最大數,中無最小數
  2. 中無最大數,中有最小數
  3. 中無最大數,中無最小數

可以證明,「中有最大數,中有最小數」的情況並不存在。證明如下:

如果有最大數有最小數,則根據分割的定義可知 。但是 顯然也是有理數,並且 ,因此 既不在 中, 也不在 中,這就與 是全體有理數矛盾。

第三種情況揭示了在有理數域中存在這樣的一種「空隙」(之間的界數),這個「空隙」所對應的數既不屬於,也不屬於,因此它不是有理數,它所對應的數就是無理數,因此說第3種情況的戴德金分割定義了一個無理數

作為一個直觀的理解,我們可以把上面三種分化分別看成 ,而「中有最大數、中有最小數」的情況就是 ,中間的分割點d同時(不合法地)屬於兩邊集合。

例子

  1. 將所有小於或等於0的有理數劃分為集合,將所有餘下的有理數(即大於0的有理數)劃分為集合,則是一個戴德金分割,並屬於上述分類中的第1種情形。
  2. 將所有小於0的有理數劃分為集合,將所有餘下的有理數(即大於或等於0的有理數)劃分為集合,則是一個戴德金分割,並屬於上述分類中的第2種情形。
  3. 將所有小於或等於0、其平方小於或等於3的正有理數(即滿足的數)劃分到集合,將餘下的有理數(即其平方大於3的正有理數)劃分到集合,則是一個戴德金分割,並屬於上述分類中的第3種情形,此時戴德金分割定義了無理數

定義大小

假設無理數由分劃所確定,無理數由分劃所確定,則

  1. 集合,則稱無理數相等,記為
  2. 集合),則稱無理數大於,記為

無理數小於)的概念可由大於)的概念定義,即當且僅當。如此得到實數系的大小關係,其性質有:

  1. 任意實數,必有且只有下列關係式之一成立:
  2. 遞移性:若實數,則。對於小於)的情形,遞移性同樣成立。

所以該大小關係是全序關係

參閱

參考文獻