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廣義最小殘量方法

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在數學上,廣義最小殘量方法(一般簡稱GMRES)是一個求解線性方程組 數值解的疊代方法。這個方法利用在Krylov子空間中有着最小殘量的向量來逼近解。Arnoldi疊代方法被用來求解這個向量。

GMRES方法由Yousef Saad和Martin H. Schultz在1986年提出。[1]

GMRES方法

需要求解的線性方程組記為

假設矩陣Ann階的可逆的。進一步,假設b是標準化的,即||b|| = 1 (在這篇文章中,||·||是Euclidean範數)。

這個問題的mKrylov子空間

GMRES通過使得殘量Axmb最小的向量xmKm來逼近Ax = b的精確解。

但是,向量b, Ab, …, Am−1b幾乎是線性相關的。因此,用Arnoldi疊代方法求得的這組Km的標準正交基

來取代上面的那組基。所以,向量xmKm寫成xm = Qmym,其中ymRmQm是由q1, …, qm組成的nm矩陣。

Arnoldi過程也產生一個 (m+1)m階上Hessenberg矩陣滿足

因為是正交的,我們有

其中

Rm+1的標準的第一個向量,並且

其中是初始向量(通常是零向量)。因此,求使得殘量

的範數最小的。這是一個m階線性最小平方問題

這就是GMRES方法。在疊代的每一步中:

  1. 做一步Arnoldi疊代方法;
  2. 尋找使得||rm||最小的
  3. 計算
  4. 如果殘量不夠小,重複以上過程。

在每一步疊代中,必須計算一次矩陣向量積Aqm。對於一般的n階稠密矩陣,這要計算複雜度大約2n2浮點運算。但是對於稀疏矩陣,這個計算複雜度能減少到O(n)。進一步,關於矩陣向量積,在m次疊代中能進行O(m n)次浮點運算。

收斂性

m次疊代獲得在Krylov子空間Km下的最小殘量。因為每個子空間包含於下一個子空間中,所以殘量單調遞減。在第n次疊代後,其中n是矩陣A的階數,Krylov空間Kn是完整的Rn。因此,GMRES方法達到精確解。然而,問題在於:在極少的幾次疊代後(相對於n),向量xm幾乎已經是精確解的一個很好的逼近。

但是,在一般情況下這是不會發生的。事實上,Greenbaum,Pták和Strakoš的理論說明了對於每一個單調減少的序列a1, …, an−1, an = 0 ,能夠找到一個矩陣A對於所有m滿足||rm|| = am ,其中rm是上面所定義的殘量。特別的,有可能找到一個矩陣,使得前n − 1次疊代的殘量一直保持為常數,而只在最後一次疊代時達到零。

在實驗中,GMRES方法經常表現得很好。在特殊的情況下這能夠被證明。如果A正定的,則

其中分別為矩陣的最小和最大特徵值

如果A對稱的並且是正定的,則

其中記為A在Euclidean範數下的條件數

一般情況下,其中A是非正定的,則

其中Pm記為次數不超過mp(0) = 1的多項式的集合,VA譜分解中的矩陣,而σ(A)是A。粗略的說,當A的特徵值聚集在遠離原點的區域且A正規不太遠時,收斂速度較快。[2]

所有的不等式只界定殘量,而不是實際誤差(精確解和當前疊代xm之間的距離)。

GMRES方法的拓展( Restarted GMRES )

同其他疊代方法一樣,為了加快收斂,GMRES經常結合預處理方法。

疊代的開銷以O(m2)增長,其中m是疊代次數。然而有時候,GMRES方法在k次疊代後重新開始,即xk又變回初始值。這樣的方法叫做GMRES(k)。

與其他解法的比較

對於對稱矩陣,Arnoldi疊代方法變成Lanczos疊代方法。對應的Krylov子空間方法叫做Paige和Saunders的最小殘量方法(MinRes)。不像非對稱的情況,MinRes方法由三項循環關係(three-term recurrence relation)給出,並且同GMRES一樣,使殘量的範數最小。而對於一般矩陣,Krylov子空間方法不能由短的循環關係(short recurrence relation)給出。

另一類方法由非對稱Lanczos疊代方法給出,特別的是BiCG方法。這個利用了three-term recurrence relation,但他們沒有達到最小的殘量,因此對於這些方法殘量不會單調遞減。收斂性是不能保證的。

第三類方法由CGSBiCGSTAB給出。這些也由three-term recurrence relation給出(因此,非最優)。而且可能過早的終止疊代了而沒有達到收斂的目的。這些方法的想法是合適的選擇疊代序列所產生的多項式。

對於所有矩陣,這三類方法都不是最好的;總有例使得一類方法好於另一類。因而,各種解法應該進行實際的試驗,來決定對於給定的問題哪一種是最優的。

求解最小平方問題

GMRES方法的其中一部分是求解向量使得

最小。這個可以通過計算QR分解來實現:找到一個(m+1)(m+1)階正交矩陣Ωm和一個(m+1)m三角矩陣滿足

三角矩陣的行數比列數多1,所以它的最後一行由零組成。因此,它能被分解為

其中是一個mm階三角(方)矩陣。

QR分解能夠簡單的進行下去(update),從一步疊代到下一步疊代。因為每次的Hessenberg矩陣只在一行零元素和一列元素上有所不同:

其中hm = (h1m, … hmm)T。這意味着,Hessenberg矩陣左乘上Ωm的擴大矩陣(通過並上零元素和單位元素),所得到的是類似於三角矩陣的矩陣:

這個矩陣可以三角化,如果σ為零。為了修正這個矩陣,需要進行Givens旋轉

其中

通過這個Givens旋轉,我們構造

事實上,

是一個三角矩陣。

給出了QR分解,最小值問題就容易解決了。注意到

其中gmRm和γmR,則

使得這個表達式最小的向量y

再一次,向量能夠簡單的進行下去(update)。[3]

Example code

Regular GMRES (python3)

# from "https://github.com/J-N-ch/GMRES_py_restart/blob/master/GMRES_API/GMRES.py"
import numpy as np
import math

class GMRES_API(object):
    def __init__( self,
                  A_coefficient_matrix: np.array([], dtype = float ),
                  b_boundary_condition_vector: np.array([], dtype = float ),
                  maximum_number_of_basis_used: int,
                  threshold = 1.0e-16 ):

        self.A = A_coefficient_matrix
        self.b = b_boundary_condition_vector
        self.maximum_number_of_basis_used = maximum_number_of_basis_used
        self.threshold = threshold

    def initial_guess_input( self, x_input_vector_initial_guess: np.array([], dtype = float ) ):

        self.x = x_input_vector_initial_guess

        try:
            assert len( self.x ) == len( self.b )

        except Exception:

            print(" The input guess vector's size must equal to the system's size !\n")
            print(" The matrix system's size == ", len( self.b ))
            print(" Your input vector's size == ", len( self.x ))
            self.x = np.zeros( len( self.b ) ) 
            print(" Use default input guess vector = ", self.x, " instead of the incorrect vector you given !\n")


    def run( self ):

        n = len( self.A )
        m = self.maximum_number_of_basis_used

        r = self.b - np.dot(self.A , self.x)
        r_norm = np.linalg.norm( r )

        b_norm = np.linalg.norm( self.b )

        self.error = np.linalg.norm( r ) / b_norm
        self.e = [self.error]
        
        # initialize the 1D vectors 
        sn = np.zeros( m )
        cs = np.zeros( m )
        e1 = np.zeros( m + 1 )
        e1[0] = 1.0

        beta = r_norm * e1 
        # beta is the beta vector instead of the beta scalar

        H = np.zeros(( m+1, m+1 ))
        Q = np.zeros((   n, m+1 ))
        Q[:,0] = r / r_norm

        for k in range(m):

            ( H[0:k+2, k], Q[:, k+1] )    = __class__.arnoldi( self.A, Q, k)
            ( H[0:k+2, k], cs[k], sn[k] ) = __class__.apply_givens_rotation( H[0:k+2, k], cs, sn, k)
            
            # update the residual vector
            beta[ k+1 ] = -sn[k] * beta[k]
            beta[ k   ] =  cs[k] * beta[k]

            # calculate and save the errors
            self.error = abs(beta[k+1]) / b_norm
            self.e = np.append(self.e, self.error)

            if( self.error <= self.threshold):
                break


        # calculate the result
        #y = np.matmul( np.linalg.inv( H[0:k+1, 0:k+1]), beta[0:k+1] )
        #TODO Due to H[0:k+1, 0:k+1] being a upper tri-matrix, we can exploit this fact. 
        y = __class__.__back_substitution( H[0:k+1, 0:k+1], beta[0:k+1] )


        self.x = self.x + np.matmul( Q[:,0:k+1], y )

        self.final_residual_norm = np.linalg.norm( self.b - np.matmul( self.A, self.x ) )

        return self.x


    '''''''''''''''''''''''''''''''''''
    '        Arnoldi Function         '
    '''''''''''''''''''''''''''''''''''
    @staticmethod
    def arnoldi( A, Q, k ):
        h = np.zeros( k+2 )
        q = np.dot( A, Q[:,k] )
        for i in range ( k+1 ):
            h[i] = np.dot( q, Q[:,i])
            q = q - h[i] * Q[:, i]
        h[ k+1 ] = np.linalg.norm(q)
        q = q / h[ k+1 ]
        return h, q 

    '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
    '           Applying Givens Rotation to H col           '
    '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
    @staticmethod
    def apply_givens_rotation( h, cs, sn, k ):
        for i in range( k-1 ):
            temp   =  cs[i] * h[i] + sn[i] * h[i+1]
            h[i+1] = -sn[i] * h[i] + cs[i] * h[i+1]
            h[i]   = temp

        # update the next sin cos values for rotation
        cs_k, sn_k, h[k] = __class__.givens_rotation( h[k-1], h[k] )
        
        # eliminate H[ k+1, i ]
        h[k + 1] = 0.0

        return h, cs_k, sn_k

    ##----Calculate the Given rotation matrix----##
    # From "http://www.netlib.org/lapack/lawnspdf/lawn150.pdf"
    # The algorithm used by "Edward Anderson"
    @staticmethod
    def givens_rotation( v1, v2 ):
        if( v2 == 0.0 ):
            cs = np.sign(v1)
            sn = 0.0
            r = abs(v1)
        elif( v1 == 0.0 ):
            cs = 0.0
            sn = np.sign(v2)
            r = abs(v2)
        elif( abs(v1) > abs(v2) ):
            t = v2 / v1 
            u = np.sign(v1) * math.hypot( 1.0, t )  
            cs = 1.0 / u
            sn = t * cs
            r = v1 * u
        else:
            t = v1 / v2 
            u = np.sign(v2) * math.hypot( 1.0, t )  
            sn = 1.0 / u
            cs = t * sn
            r = v2 * u
        return cs, sn, r

    # From https://stackoverflow.com/questions/47551069/back-substitution-in-python
    @staticmethod
    def __back_substitution( A: np.ndarray, b: np.ndarray) -> np.ndarray:
        n = b.size
        if A[n-1, n-1] == 0.0:
            raise ValueError

        x = np.zeros_like(b)
        x[n-1] = b[n-1] / A[n-1, n-1]
        for i in range( n-2, -1, -1 ):
            bb = 0
            for j in range ( i+1, n ):
                bb += A[i, j] * x[j]
            x[i] = (b[i] - bb) / A[i, i]
        return x


    def final_residual_info_show( self ):
        print( "x  =", self.x, "residual_norm =  ", self.final_residual_norm ) 
    
def main():

    A_mat = np.array( [[1.00, 1.00, 1.00],
                       [1.00, 2.00, 1.00],
                       [0.00, 0.00, 3.00]] )

    b_mat = np.array( [3.0, 2.0, 1.0] )

    GMRES_test_itr2 = GMRES_API( A_mat, b_mat, 2, 0.01)

    x_mat = np.array( [1.0, 1.0, 1.0] )
    print("x  =", x_mat)

    # GMRES with restart, 2 iterations in each restart ( GMRES(2) )
    max_restart_counts = 100
    for restart_counter in range(max_restart_counts):
        GMRES_test_itr2.initial_guess_input( x_mat )

        x_mat = GMRES_test_itr2.run()
        print(restart_counter+1," : x  =", x_mat)

    xx = np.matmul( np.linalg.inv(A_mat), b_mat )
    print("ANS : xx =", xx) 


if __name__ == '__main__':
    main()

註記

  1. ^ Saad和Schultz
  2. ^ Trefethen & Bau, Thm 35.2
  3. ^ Stoer and Bulirsch, §8.7.2

參考