在數學中,平衡點(equilibrium point)是相對微分方程或差分方程的概念,多指微分方程的常數解(constant solution)。
定義
對於微分方程
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b0158086dee4d352cf5c9fffe4e936db566051)
若
對任意
都成立,則稱
為此微分方程的平衡點。
類似地,對於差分方程
![{\displaystyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k}),\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a15b0a39cbedeb185f5e12949202a1dfd4a1a0a)
若
對
都成立,則稱
為此差分方程的平衡點。
分類
微分方程可以被線性化為以下形式
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {A} \mathbf {x} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5d480d0815efc9c87534ec45573edabe4cdbd5)
其中
是
在平衡點
處的雅可比矩陣。通過觀察矩陣
的特徵值的符號,可以判斷平衡點
的穩定性。
若
的所有的特徵值的實部均不為0,則
被稱為雙曲平衡點。若所有特徵值的實部均為負值,則此平衡點是穩定點。若至少存在一個特徵值的實部為正值,則此平衡點是不穩定點。若至少有一個特徵值的實部為正,且至少有一個特徵值的實部為負,則此平衡點是鞍點。
關於差分方程的平衡點也可作相似的分類。設
是
在平衡點
處的雅可比矩陣。
若
的所有的特徵值的模均不為1,則
被稱為雙曲平衡點。若所有特徵值的模均為小於1,則此平衡點是穩定點。若至少存在一個特徵值的模大於1,則此平衡點是不穩定點。若至少有一個特徵值的模大於1,且至少有一個特徵值的模小於1,則此平衡點是鞍點。