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垂心組

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一個垂心組,其中一點是另三點構成的三角形的垂心

幾何學中,一個垂心組是由四個組成的平面圖形,使得其中一點都是另外三點組成的三角形的垂心

結構

如果四個點構成一個垂心組,那麼實際上可以證明每個點都是另外三點組成的三角形的垂心。因此,在一個垂心組中,四個點的地位是相同的。在一般情況下,四個點的位置互不相同,除非其中有三個點構成直角三角形。這時第四個點和直角頂點重合。在所有其他的情況里,會有一個點落在另三點所構成的三角形的內部。

性質

如圖,垂心組的四個三角形的外接圓們的圓心為:恰好是原來的垂心組翻轉過來的樣子。

一個垂心組中的點可以構成四個三角形。這四個三角形中有一個是銳角三角形,另外三個是鈍角三角形。這四個三角形的九點圓都是同一個稱為垂心組的(公共的)九點圓;它們的外接圓有相同的半徑,這個半徑稱為垂心組的外接圓半徑。這四個外接圓的圓心也構成一個垂心組,並且和原來的垂心組全等(形狀一樣),可以看成是原來的垂心組關於一點旋轉180°之後的結果。這個點就是原垂心組的九點圓的圓心。

垂心組的四個三角形擁有共同的九點圓: 關於 對稱。

將垂心組的四點兩兩連起來,並延長成直線,則可以得到六條直線。這六條直線有七個交點,其中四個是原來垂心組的四點,另外三點都是兩兩垂直的直線的交點,它們是垂心組中唯一一個銳角三角形的三條高線的垂足。這三個點構成的三角形叫做垂心的垂足三角形。垂心組中不構成銳角三角形的那一點不僅是銳角三角形的垂心,也是垂心的垂足三角形的內心。而垂心組的另外三個點(構成銳角三角形的三個點)則是垂心的垂足三角形的三個旁心。反過來則可以推出:任何一個三角形的內心和三個旁心構成一個垂心組。

參考來源