可數選擇公理

可數選擇公理，指示為${\text{AC}}_{\omega }$，是公理化集合論的類似於選擇公理的一個公理。它聲稱非空集合的任何可數搜集都一定有選擇函數。保羅·寇恩證明了AC_ω在Zermelo-Fraenkel集合論（${\text{ZF}}$）中是不可證明的。

${\text{ZF}}+{\text{AC}}_{\omega }$足夠證明可數多可數集合的併集是可數的。它還足夠證明所有無限集合都是戴德金無限的（等價的說：有可數無限的真子集）。${\text{AC}}_{\omega }$對於開發數學分析特別有用，這裏的很多結果依賴於實數的可數集合有選擇函數（考慮為有理數的柯西序列的集合）。

${\text{AC}}_{\omega }$是弱形式的選擇公理（AC），它聲稱非空集合的「所有」搜集一定有一個選擇函數。AC明確的蘊涵了依賴選擇公理（DC），而DC足夠證明${\text{AC}}_{\omega }$。但是${\text{AC}}_{\omega }$要嚴格弱於DC（而DC嚴格弱於AC）。

用法

作為應用${\text{AC}}_{\omega }$的例子，下面是所有無限集合是戴德金無限的一個證明（在${\text{ZF}}+{\text{AC}}_{\omega }$中）：

設$X$是無限的。對於每個自然數$n$，設$A_{n}$是$X$的所有$2^{n}$元素子集的集合。因為$X$是無限的，每個$A_{n}$是非空的。對序列$A_{n}$應用${\text{AC}}_{\omega }$，便得到了序列（$B_{n}:n=0,1,2,3,\ldots$)，這裏的每個$B_{n}$是有$2^{n}$個元素的$X$的子集。

集合$B_{n}$可能是相交的，但是我們可以定義

$C_{0}=B_{0}$

$C_{n}$是$B_{n}$與所有$C_{j}$的併集的差集，$j<n$。

明顯的每個集合$C_{n}$都有至少1個和至多$2^{n}$個元素，而集合$C_{n}$是兩兩不相交的。再對序列$C_{n}$應用${\text{AC}}_{\omega }$，便得到了序列$(c_{n}:n=0,1,2,\ldots )$，其中$c_{n}\in C_{n}$。

所以所有$c_{n}$都是相異的，而$X$包含一個可數集合。定義把每個$c_{n}$映射到$c_{n+1}$的函數$f$（並固定所有$X$的其他元素），f是從$X$到$X$的一一映射，它不是滿射，這證明了$X$是戴德金無限的。

參見

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