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卡諾定理 (熱力學)

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卡諾定理熱力學中的一個定理,說明熱機的最大熱效率只和其高溫熱源和低溫熱源的溫度有關。此定理以尼古拉·卡諾為名。

根據卡諾定理,則

  • 所有不可逆的熱機,其熱效率會比使用相同高溫和低溫熱源的卡諾熱機要低。
  • 所有可逆的熱機,其熱效率會等於相同高溫和低溫熱源的卡諾熱機。

依卡諾定理可得到一熱機的最大熱效率(也稱作卡諾效率)為

其中

上式的熱效率是指熱機產生的功和高溫熱源提供能量的比值。

上述定律其實是熱力學第二定律的結果。不過當初在推導此定律時是以熱質說為基礎,且以此定律為基礎建立熱力學第二定律[1]

證明

證明卡諾定理

此定理可用以下的方式,針對不可逆熱機及可逆熱機的情形進行證明[2]

不可逆熱機

假設一不可逆熱機,其熱源為,其熱效率為,此熱機和一個效率為的逆卡諾熱機,依右圖的方式組合成一個熱力學循環,不可逆熱機產生的功為逆卡諾熱機的工作來源。

,則此熱力學循環對系統沒有任何影響,與不可逆性矛盾,因此不成立。

,則此熱力學循環可由低溫熱源取出

的能量,將此能量釋放到高溫熱源,且不引起其他變化,違反熱力學第二定律,也無法成立。

因此結論為,不可逆熱機的效率較卡諾熱機的效率低。

可逆熱機

對於可逆熱機的例子,可依類似的方式得到的結果。

若用待測的可逆熱機當成逆熱機,和一般的卡諾熱機形成一個熱力學循環,也可得到的結果。

由於上述二式需同時成立,可得以下的式子

應用在燃料電池上

有關卡諾定理是否能應用在燃料電池,至今科學家還沒有達成共識。凱斯西儲大學的教授認為「由於燃料電池中的電化學反應不涉及將熱能轉換為機械能,因此不受卡諾定理的限制」[3]。不過K. T. Jacob及Saurabh Jain則認為「傳統的觀點認為燃料電池不受卡諾定理的限制,不過最近幾篇論文都認為熱力學第二定律不但限制熱機的效率,也以同樣方式限制燃料電池的效率」[4]

參考資料

  1. ^ John Murrell. A Very Brief History of Thermodynamics (PDF). [October 5, 2010]. (原始內容 (PDF)存檔於2009-11-22). 
  2. ^ Lecture 10: Carnot theorem (PDF). Feb 7, 2005 [October 5, 2010]. (原始內容存檔 (PDF)於2014-09-12). 
  3. ^ Fuel Cell versus Carnot Efficiency. [Feb 20, 2011]. (原始內容存檔於2019-05-05). 
  4. ^ Fuel cell efficiency redefined : Carnot limit reassessed. [Feb 20, 2011]. (原始內容存檔於2014-07-16).