切線束

數學上，一個微分流形M的切線束(tangent bundle) T(M)是一個由M各點上切空間組成的向量叢，其總空間是各切空間的互斥併集：

T(M)=\coprod _{x\in M}T_{x}(M).

總空間T(M)每個元素都是一個二元組(x,v)，其中v是在點x的切空間T_x(M)內的一枚向量。切線束有自然的2n維微分流形結構如下：

設： $\pi \colon T(M)\to M\,$ 為自然的投影映射，將(x,v)映射到基點x；若M是個n維流形，U是x的一個足夠小的鄰域， φ :U→Rⁿ是一個局部坐標卡， V是U在T(M)的前象V（ $V=\pi ^{-1}(U)\,$ )），則存有一個映射ψ : V → Rⁿ × Rⁿ：ψ(x, v) = (φ(x), dφ(v)). 這個映射定義了T(M)的一個坐標圖。

背景知識見微分流形條目。

拓撲和光滑結構

切線束帶有一個自然的拓撲（不是互斥併集拓撲（disjoint union topology））以及微分結構，使得它自己成為一個流形。T(M)的維數是M的兩倍。

每個n維向量空間的切空間是一個n維向量空間。那麼作為一個集合，T(M)和M × Rⁿ同構。但作為一個流形，T(M)並不總是和積流形M × Rⁿ微分同胚。這在切線束是平凡的時候是真的。就象流形局部由歐幾里得空間構造一樣，切線束局部構造在M × Rⁿ上。

若M是一個n維流形，則它有一個圖冊（U_α, φ_α）其中U_α是M中開集而

\phi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}

是一個同胚。U上的這些局部坐標對於每個x ∈ U給出了T_xM和Rⁿ之間的一個同構。我們然後可以定義一個映射

{\tilde {\phi }}_{\alpha }\colon \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to \mathbb {R} ^{2n}

這是通過下式完成的

{\tilde {\phi }}_{\alpha }(x,v^{i}\partial _{i})=(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n})

我們用這些映射來定義T(M)上的拓撲和光滑結構。T(M)的子集A是開的當且僅當對於每個α， ${\tilde {\phi }}_{\alpha }(A\cap U_{\alpha })$ 在R²ⁿ中是開的。這樣這些映射是T(M)的開子集和R²ⁿ的同胚，所以可以作為T(M)的光滑結構的坐標圖。坐標圖定義域的交集 $\pi ^{-1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ 上的轉換函數用相關的坐標轉換的雅可比矩陣引出，所以是R²ⁿ的開子集間的光滑映射。

切線束是稱為向量叢（自己是纖維叢的特例）的更一般的構造的特例。直接一點的說，n維流形M的切線束可以定義為一個M上的n階向量叢，其轉換函數由相應的坐標轉換的雅可比矩陣給出。

向量場

向量場是切線束的截面。

局部向量場

局部向量場是切線束的局部截面。

向量場的層

所有局部向量場的集合構成一個層（sheaf）。

參見

外部連結

MathWorld: Tangent Bundle （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
PlanetMath: Tangent Bundle（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參考

Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2
Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.