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分裂體

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抽象代數中,一個系數多項式分裂體根體)是的「最小」的一個擴張體,使得在其中可以被分解為一次因式的乘積,其中的中元素。一個上的多項式並不一定只有一個分裂體,但它所有的分裂體都是同構的:在同構意義上,上的多項式的分裂體是唯一的。

術語與定義

稱一個系數的多項式 的某個擴張體分裂當且僅當這個多項式可以用這個體中的元素來分解(分裂)成最簡單的一次因式的乘積:

其中的。換句話來說,都在中。

使得在其中分裂的擴張體有很多,譬如對於某個使得分裂的的,它任意的擴張體也都滿足。然而其中「最小」的體在同構意義上是唯一的。所謂的「最小」體,是指這樣的一個擴張體

  1. 里,,可以分解為一次因式的乘積;
  2. 的任何真子體(不等於自身)里,都無法如此分解。這樣的擴張體稱為上的分裂體

例子

如果有理數體,多項式為

那麼其分裂體可以是在中添加三次單位根和2的立方根而得到的擴張體:。因為這時可以寫作:

同一個多項式在不同的體上的分裂體不一定相同,比如:

  • 多項式實數體 R上的分裂體是複數體 C
  • 多項式准有限體 GF7上的分裂體是GF72.

多項式准有限體 GF7上的分裂體是GF7,因為在其上已經分解完畢。

性質

給定多項式,在 上的分裂體,假設在,分解為

那麼

對於體的一個代數閉體擴張體上的一個多項式,存在上的唯一的一個分裂體,使得

對於的一個可分擴張伽羅瓦閉包是一個分裂體,也是的包含的一個「最小」的伽羅瓦擴張。這樣的一個伽羅瓦閉包包含了中任意元素,在上的極小多項式上的分裂體。

參見

參考來源

外部連結