LQG控制(linear–quadratic–Gaussian control)的全名是線性二次高斯控制,是控制理論中的基礎最佳控制問題之一。此問題和存在加性高斯白噪聲的線性系統有關。此問題是要找到最佳的輸出回授律,可以讓二次費用函數的期望值最小化。其輸出量測假設受到高斯噪聲的影響,其初值也是高斯隨機向量。
在「使用線性控制律」的最佳控制假設下,可以用completion-of-squares論述進行推導[1]。此控制律即為LQG控制器,就是卡爾曼濾波(線性二次狀態估測器,LQE)和LQR控制器的結合。分離原理指出狀態估測器和狀態回授可以獨立設計。LQG控制可以應用在線性時不變系統及線性時變系統,產生容易計算以及實現的線性動態回授控制器。LQG控制器本身是一個類似其受控系統的動態系統,兩者有相同的維度。
根據分離原理,在一些範圍較寬可能是非線性的控制器中,LQG控制器仍然是最佳的。也就是說「使用非線性控制架構不一定可以改善費用泛函的期望值」。這個版本的分離原理是隨機控制的分離原理(separation principle of stochastic control)提到就算過程及輸出雜訊源可能是非高斯鞅,只要其系統動態是線性的,其最佳控制仍可以分離為最佳狀態估測器(不再是卡爾曼濾波器)及LQR控制器[2][3]。LQR控制器也有用來控制擾動的非線性系統[4]。
問題和解的數學描述
連續時間
考慮連續時間的線性動態系統
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6defe551e49b86f9162d041c69d02c243f8a9701)
![{\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {w} (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6110ac75dba6bb317a493b19182cd72a57dc6d83)
其中
是系統狀態變數的向量,
是控制輸入向量,
是輸出量測值的向量,可用在回授上。系統受到加成性的高斯系統雜訊
及加成性的高斯量測雜訊
所影響。給定一系統,其目標是找到一控制輸入
,此控制輸入在每個時間
下,和以往的量測量
有線性關係,而且此控制輸入可以讓以下的費用函數有最小值:
![{\displaystyle J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(T)F{\mathbf {x} }(T)+\int _{0}^{T}{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(t)Q(t){\mathbf {x} }(t)+{\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}(t)R(t){\mathbf {u} }(t)\,dt\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7c201f7e732044387764b3665083e3b2a42b5e)
![{\displaystyle F\geq 0,\quad Q(t)\geq 0,\quad R(t)>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37a324e696f9bc11a54b06409af36d79ac6ca19)
其中
為期望值。最終時間(horizon)
可能是有限值或是無限值。若最終時間為無限,則費用函數的第一項
可以忽略,和問題無關。而為了要讓費用函數為有限值,會定義費用函數為
。
求解上述LQG問題的LQG控制器可以用以下方程表示:
![{\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=A(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+B(t){\mathbf {u} }(t)+L(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)\right),\quad {\hat {\mathbf {x} }}(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6226fa6b6cc6f0f19d753b32710a484daab47c09)
![{\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-K(t){\hat {\mathbf {x} }}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6f0b0aa28f28a556f3821c753060de24bad390d)
矩陣
稱為卡爾曼增益(Kalman gain),和第一個方程卡爾曼濾波有關。在時間
,濾波器會根據過去量測及輸入來產生狀態
的估測值
。卡爾曼增益
是根據
、二個和白色高斯雜訊有關密度矩陣
、
及最後的
來計算。這五個矩陣會透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定卡爾曼增益:
![{\displaystyle {\dot {P}}(t)=A(t)P(t)+P(t)A^{\mathrm {T} }(t)-P(t)C^{\mathrm {T} }(t){\mathbf {} }W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89dbab902f3c162d1e676b6105eb745a6353b9a)
![{\displaystyle P(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300e67733a5d956fd287398d14556364d4b5a3de)
假設其解
,則卡爾曼增益等於
![{\displaystyle {\mathbf {} }L(t)=P(t)C^{\mathrm {T} }(t)W^{-1}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66c6504568f7848209953be614d87b3197cd1d1)
矩陣
稱為回授增益(feedback gain)矩陣,是由
及
矩陣,透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定
![{\displaystyle -{\dot {S}}(t)=A^{\mathrm {T} }(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t)+Q(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e6a65debaf5acd678160dd306eabbdb19fac85)
![{\displaystyle {\mathbf {} }S(T)=F.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec06a2cff3b629e6bfc5072ea4c536c7c1495c2e)
假設其解
,回授增益等於
![{\displaystyle {\mathbf {} }K(t)=R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7fb4eac9522683e03eb26be4fe9a3ef8babd79)
觀察上述二個矩陣Riccati微分方程,第一個沿時間從前往後算,而第二個是沿時間從後往前算,這稱為「對偶性」。第一個矩陣Riccati微分方程解了線性平方估測問題(LQE),第二個矩陣Riccati微分方程解了LQR控制器問題。這二個問題是對偶的,合起來就解了線性平方高斯控制問題(LQG),因此LQG問題分成了LQE問題以及LQR問題,且可以獨立求解,因此LQG問題是「可分離的」。
當
和雜訊密度矩陣
,
不隨時間變化
,且
趨於無限大時,LQG控制器會變成非時變動態系統。此時上述二個矩陣Riccati微分方程會變成代數Riccati方程。
離散時間
離散時間的LQG控制問題和連續時間下的問題相近,因此以下只關注其數學式。
離散時間的線性系統方程為
![{\displaystyle {\mathbf {x} }_{i+1}=A_{i}\mathbf {x} _{i}+B_{i}\mathbf {u} _{i}+\mathbf {v} _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c69d13b665c60fef24f5bfc75a5c1dffb5dbbf)
![{\displaystyle \mathbf {y} _{i}=C_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {w} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9aaa37c2a1af673acbe7b82eec670205f1c4b1)
其中
是離散時間,
是離散時間高斯白雜訊過程,其共變異數矩陣為
。
要最小化的二次費用函數為
![{\displaystyle J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }_{N}^{\mathrm {T} }F{\mathbf {x} }_{N}+\sum _{i=0}^{N-1}(\mathbf {x} _{i}^{\mathrm {T} }Q_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {u} _{i}^{\mathrm {T} }R_{i}\mathbf {u} _{i})\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8cda1b782781f08c3fe8fe753df29a07dfeedc)
![{\displaystyle F\geq 0,Q_{i}\geq 0,R_{i}>0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0498be42968098c02db88921e99eb3df2246875b)
離散時間的LQG控制器為
,
![{\displaystyle \mathbf {u} _{i}=-K_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fec6d89c9c590bb47c60531a93b694b54a8d10b)
卡爾曼增益等於
![{\displaystyle {\mathbf {} }L_{i}=P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i})^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e6b0b2b4fdfa84fd9d8179611a006693149e95)
其中
是由以下依時間往前進的矩陣Riccati差分方程所決定:
![{\displaystyle P_{i+1}=A_{i}\left(P_{i}-P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }\left(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i}\right)^{-1}C_{i}P_{i}\right)A_{i}^{\mathrm {T} }+V_{i},P_{0}=\mathbb {E} \left({\mathbf {x} }_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}_{0}\right)\left({\mathbf {x} }_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}_{0}\right)^{\mathrm {T} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c0aa880a601ad552247003788dc5dad04a968b)
回授增益矩陣為
![{\displaystyle {\mathbf {} }K_{i}=(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}A_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc11aabfb9956589ef79d8a6f48d73961d96507)
\
其中
是由以下時間從後往前算的矩陣Riccati差分方程所決定:
![{\displaystyle S_{i}=A_{i}^{\mathrm {T} }\left(S_{i+1}-S_{i+1}B_{i}\left(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}\right)A_{i}+Q_{i},\quad S_{N}=F.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1332d5e62d5c5a3c5af7026c39d49da7a6dad87c)
若問題中所有的矩陣都是非時變的,且時間長度
趨近無窮大,則離散時間的LQG控制器就是非時變的。此時矩陣Riccati差分方程可以用離散時間的代數Riccati方程取代。可以決定非時變的離散線性二次估測器,以及非時變的離散LQR控制器。為了讓費用是有限值,會用
來代替
。
降階LQG問題
在傳統LQG設置中,當系統維度很大時,實現LQG控制器會有困難。降階LQG問題(reduced-order LQG problem)也稱為固定階數LQG問題(fixed-order LQG problem)先設置了LQG控制的狀態數。因為分離原理已不適用,此問題會更不容易求解,而且其解也不唯一。即使如此,降階LQG問題已有不少的數值演算法[5][6][7][8]可以求解相關的最佳投影方程(optimal projection equations)[9][10],其中建構了局部最佳化的降階LQG問題的充份及必要條件[5]。
LQG控制的強健性
LQG最佳化本身不確保有良好的強健性[11],需要在設計好LQG控制後,另外確認閉迴路系統的強健穩定性。為了提昇系統的強健性,可能會將一些系統參數由確定值改假設是隨機值。相關的控制問題會更加複雜,會得到一個類似的最佳控制器,只有控制器參數不同[6]。
相關條目
參考資料
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- ^ Anders Lindquist. On Feedback Control of Linear Stochastic Systems. SIAM Journal on Control. 1973, 11: 323––343. .
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- ^ Bernstein D.S.; Davis L.D.; Hyland D.C. The optimal projection equations for reduced-order discrete-time modeling estimation and control. Journal of Guidance Control and Dynamics. 1986, 9 (3): 288–293. doi:10.2514/3.20105.
- ^ Green, Michael; Limebeer, David J. N. Linear Robust Control. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1995: 27. ISBN 0-13-102278-4.
延伸閱讀