馮紐曼熵

量子統計力學中，馮紐曼熵（英語：von Neumann entropy）是經典體系吉布士熵概念的拓展延伸。體系的馮紐曼熵為

$S{\dot {=}}-\mathrm {Tr} (\rho \ln \rho ),$

其中Tr表示求跡，$\rho$是體系的密度矩陣。

運用密度矩陣的本徵態向量分解表示

$\rho =\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,$

可以得到：

$S=-\sum _{i}w_{i}\ln w_{i}.$

性質

馮紐曼熵有下列性質：

• $S=0\iff \rho$代表純態；
• $S=S_{\max }=\ln N\iff \rho$代表最大混合態，就是所有的$w_{i}$都等於$N^{-1}$，其中$N$是希爾伯特空間的維數；
• 對密度矩陣作酉變換，$S$不變。
• 馮紐曼熵是密度矩陣的上凸函數：

$S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,\rho _{i}{\bigg )}\,\geq \,\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,S(\rho _{i}),\qquad \forall \lambda _{i}\geq 0,\sum _{i}\lambda _{i}=1;$

• 馮紐曼熵對獨立體系有加和性，就是：如果$A$和$B$是兩個獨立的體系，這樣

$S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).$