隨機偏微分方程
隨機偏微分方程（英文：Stochastic partial differential equation，SPDE）為偏微分方程引入了隨機項和隨機係數，類似於隨機微分方程之於常微分方程。隨機微分方程在量子場論、統計力學、金融數學中有着廣泛的應用。[1][2]
示例
最常見的SPDE之一是隨機熱傳導方程[3] ，形式上可以寫作
其中是拉普拉斯算子，表示時空白噪聲。其他例子還有知名方程的隨機版本，如波動方程[4]和薛定諤方程。[5]
討論
一個困難是缺乏正規性。在一個空間維度中，隨機熱傳導方程的解在空間上幾乎只有1/2-赫爾德連續，在時間上則只有1/4-赫爾德連續。對於二維及更高維度，解甚至不是函數值，但可以理解為隨機分佈。
對於線性方程，通常可以通過半群手段找到溫和解（mild solution）。[6] 然而，當考慮非線性方程時，問題就開始出現了。例如
其中是多項式。在這種情況下，我們甚至不知道該如何理解這個方程。這樣的方程在多維情形下也不會有數值解，因此也沒有點。眾所周知，分佈空間沒有積結構。這是此類理論的核心問題。這就需要某種形式的重整化。
為規避某些特定方程的此類問題，早期的嘗試是所謂的「普拉托-德布斯切技巧」（da Prato–Debussche trick），即把此類非線性方程作為線性方程的擾動來研究。[7]然而，這只能在非常受限的環境中使用，因為它既取決於非線性因子，也取決於驅動噪聲項的正規性。近年來，這一領域急劇擴大，現在已有大型機制可以保證各種亞臨界SPDE的局部存在性。[8]
另見
參考文獻
- ^ Prévôt, Claudia; Röckner, Michael. A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. 2007 [2023-10-29]. ISBN 978-3-540-70780-6. （原始內容存檔於2020-03-29） （英語）.
- ^ Krainski, Elias T.; Gómez-Rubio, Virgilio; Bakka, Haakon; Lenzi, Amanda; Castro-Camilo, Daniela; Simpson, Daniel; Lindgren, Finn; Rue, Håvard. Advanced Spatial Modeling with Stochastic Partial Differential Equations Using R and INLA. Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC Press. 2018 [2023-10-29]. ISBN 978-1-138-36985-6. （原始內容存檔於2020-03-29）.
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閱讀更多
- Bain, A.; Crisan, D. Fundamentals of Stochastic Filtering. Stochastic Modelling and Applied Probability 60. New York: Springer. 2009. ISBN 978-0387768953.
- Holden, H.; Øksendal, B.; Ubøe, J.; Zhang, T. Stochastic Partial Differential Equations: A Modeling, White Noise Functional Approach. Universitext 2nd. New York: Springer. 2010. ISBN 978-0-387-89487-4. doi:10.1007/978-0-387-89488-1.
- Lindgren, F.; Rue, H.; Lindström, J. An Explicit Link between Gaussian Fields and Gaussian Markov Random Fields: The Stochastic Partial Differential Equation Approach. Journal of the Royal Statistical Society Series B: Statistical Methodology. 2011, 73 (4): 423–498 [2023-10-29]. ISSN 1369-7412. doi:10.1111/j.1467-9868.2011.00777.x. hdl:20.500.11820/1084d335-e5b4-4867-9245-ec9c4f6f4645 . （原始內容存檔於2024-04-27）.
- Xiu, D. Numerical Methods for Stochastic Computations: A Spectral Method Approach. Princeton University Press. 2010. ISBN 978-0-691-14212-8.
外部連結
- A Minicourse on Stochastic Partial Differential Equations (PDF). 2006.
- Hairer, Martin. An Introduction to Stochastic PDEs. 2009. arXiv:0907.4178 [math.PR].