蝶形線指下列兩類平面曲線。
由隱式方程
給出。
這種類型由 Temple H. Fay 發現。可用下列參數方程表示：
x = sin t ( e cos t − 2 cos 4 t − sin 5 t 12 ) y = cos t ( e cos t − 2 cos 4 t − sin 5 t 12 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin t(e^{\cos t}-2\cos 4t-\sin ^{5}{\frac {t}{12}})\\y&=\cos t(e^{\cos t}-2\cos 4t-\sin ^{5}{\frac {t}{12}})\end{aligned}}}
也可以寫成極坐標形式：
或: r = e cos θ − 2 cos 4 θ + sin 5 2 θ − π 24 {\displaystyle r=e^{\cos \theta }-2\cos 4\theta +\sin ^{5}{\frac {2\theta -\pi }{24}}}
.
蝶形線（極角變動若干個周期後得到的結果）
