環(英文:Ring)是一種帶有兩個二元運算(抽象化的「加法」和「乘法」)、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象,並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。
環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有不同見解,在部份情況下甚至不要求乘法有結合律。然而除非明確聲明,否則本條目所稱的「環」是指有乘法單位元、乘法有結合律的環。
定義
給定一個集合
以及兩個定義在
上的二元運算
和
[註 1]。如果
、
和
具有以下八個性質[註 2],則稱
[註 3]構成了一個環。
是一個交換群:
- 加法有結合律——對所有的
,都有:![{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b7b8d31d5845966e6abdbb030c73f343c17d4e)
- 加法有交換律——對所有的
,都有:![{\displaystyle a+b=b+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684f43b5094501674e8314be5e24a80ee64682e3)
- 有加法單位元——存在某個[註 4]
,使得所有的
,都有: ![{\displaystyle 0_{R}+r=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6725582f8b60f30d217124d261a62e1e4cbd4ca4)
- 有加法反元素——對所有的
,存在某個[註 4]
,使得: ![{\displaystyle -r+r=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce505ae92847e09e27201ebd812cc263183e74d)
是一個有單位元的半群:
- 乘法有結合律——對所有的
,都有: ![{\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74ad4422b4ae5d85f956edfe3696c5a07311c8c)
- 有乘法單位元——存在某個[註 4]
,使得所有的
,都有:![{\displaystyle 1_{R}\times r=r\times 1_{R}=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537d73f117b6326af37dc32721f192e0ee34f0c5)
- 乘法對於加法滿足分配律:
- (左)分配律——對所有的
,都有:![{\displaystyle a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124639ac11ec6df7722e10607394f14b70d36576)
- (右)分配律——對所有的
,都有:![{\displaystyle (a+b)\times c=(a\times c)+(b\times c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a0b7b15369b78360cb3de508c2ac70e9d1f6047)
環的乘法經常依照慣例[註 5],不會寫出「
」這個符號。例如(左)分配律就可以寫成:
此外,加法單位元也經常稱為「零元素」或直接簡稱為「零」。
定義的分歧
環的定義的分歧通常在於是否要求乘法單位元的存在。在 1960 年代以前,多數抽象代數的教科書通常會採用埃米·諾特的定義,不要求乘法單位元存在。然而在 1960 年後,越來越多的著名教科書作者(例如:尼古拉·布爾巴基、大衛·艾森佈德、塞爾日·蘭)開始將乘法單位元的存在性納入定義中。不要求乘法單位元存在的作者,通常會將有乘法單位元的環稱為單位環( unital ring );反之,要求乘法單位元存在的作者,可能會將不含乘法單位元( identity )的環( ring )稱為 rng [註 6]或偽環( pseudo-ring ),或甚至乾脆不提及任何沒有單位元的環。
另外在交換代數的文獻中,通常還會額外約定環的乘法要滿足交換律。這類文獻的作者通常會事先聲明。
例子
- 整數
、有理數
、實數
和複數
,連同尋常的加法和乘法,構成了一個環。它們的加法單位元是
,乘法單位元是
,是最典型的實際例子。
- 整系數多項式環
、有理系數多項式環
,實系數多項式環
、複系數多項式環
,連同多項式加法和乘法,構成一個環。它們的加法單位元也是
,乘法單位元也是
。更一般地,可以考慮任何環
的多項式環
。
- 整系數有理函數
、有理系數有理函數
,實系數有理函數
、複系數有理函數
,連同有理函數的加法和乘法,構成一個環。它們的加法單位元依然是
,乘法單位元依然是
。更一般地,可以考慮任何環
的有理函數環
;而「建構分式」的操作還是「分式體」以及更一般的「局部化」這些概念的起源。
- 大小為
的整系數矩陣
、有理系數矩陣
、實系數矩陣
、或複系數矩陣
,連同矩陣加法和矩陣乘法,構成一個環。它們的加法單位元是零矩陣 :
乘法單位元則是單位矩陣 :
同樣的,可以考慮任何環
的矩陣環
。矩陣環也是典型的非交換環。
- 如果集合
只有一個元素,那
只可能定義出唯一的一種環結構——零環[註 7]( Zero ring )。
基本性質
- 零元素是唯一的
- 零乘以[註 8]任何東西都是零
- 乘法單位元是唯一的
- 任何元素如果有乘法反元素,那是唯一的
- 多個環元素的分配律:
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{i}b_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbcaab83b7bea65c090578083549de1b236c9471)
- 環元素的整數倍與整數次方——整數可以用來當作是任何環的系數,只要定義以下的系數運算規則:
這種系數運算規則和普通系數的概念有許多一致性,例如:
![{\displaystyle n(ab)=(na)b=a(nb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd4c0e9232b24de143acbb560b24bc24309935e)
![{\displaystyle (nm)a=n(ma)=m(na)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54872a49fd86963cfbdb69ff5f17e27842351173)
![{\displaystyle n(a+b)=na+nb}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3891631472a87a884e2c7e2c9597912da7b1cb14)
![{\displaystyle (n+m)a=na+ma}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32452777030fd281210c8071bee9ebf78dd3d96)
- 而類似地如果把多次相加改成多次相乘,那麼可以[註 9]定義冪運算:
![{\displaystyle a^{n}:=\underbrace {a\times a\times \cdots a} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{-n}:=\underbrace {a^{-1}\times a^{-1}\times \cdots a^{-1}} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{0}:=1_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b575adaceed11775237525ae32e752214b4ce3e)
- 二項式展開——如果
,那麼它們總和的次方可以這樣計算:
這可以推廣到多個元素
總和的次方——如果任兩個元素的
和
的乘法都可以交換(即
),那麼:![{\displaystyle (a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})^{n}=\sum _{i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{m}=n}{\frac {n!}{(i_{1}!)(i_{2}!)\cdots (i_{n}!)}}a_{1}^{i_{1}}a_{2}^{i_{2}}\cdots a_{m}^{i_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450abd6e42faf38276e9a67fd0a5f8fa81aaea6f)
基本的相關概念
特殊的環元素
在初等環論中,以下四類型的環元素在任意的環[註 10]中都有定義,它們是經常被討論的對象:
- 可逆元( Unit 或 Invertible element ):有乘法反元素的環元素。
- 零因子( Zero divisor ):相乘後為零的非零元素;相當於「零的因數」。
- 冪零元( Nilpotent ):自乘多次後變成零的環元素。
- 冪等元( Idempotent ):自乘任意多次都不變的環元素。
環同態、核、像
在環論中,環同態描述了環與環之間的關係。一個從環
送往環
的環同態( Ring homomorphism )
簡單來說是一種「維持環結構[註 11]」的映射;而具體來說,
要具有以下三個性質:
- 維持加法的結構——對所有的
,都有:![{\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822600027fb446b01dd1902d7d3864d9f0f905ba)
- 維持乘法的結構——對所有的
,都有:![{\displaystyle f(ab)=f(a)(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7276b34d16f2367f0894b8a19c38464da51f90b2)
- 維持單位元的結構——也就是:
![{\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c922d3c4a7aa35a9703521f921971b0e8fa7832)
對一個環同態
來說,有以下兩個密切相關的概念:
- 核( Kernel )——送到零元素的那些元素:
![{\displaystyle \mathrm {Ker} (f):=f^{-1}(0_{S})=\{a\in R\mid f(a)=0_{S}\}\subseteq R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86dcfaac66ed4dad5d84252b25b092a50fa27950)
- 像( Image )——把元素都送過去後的結果:
![{\displaystyle \mathrm {Im} (f):=f(R)=\{f(a)\in S\mid a\in R\}\subseteq S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262c33e608c3444cd81c49d84437e5189931f0b0)
子環、(雙邊)理想、商環
給定一個環
,我們可以考慮它的:
- 子環( Subring )——某個送往
的環同態在
內的像。[註 12]
- 雙邊理想( Two side ideal )——某個定義在
上的環同態的核。
- 商環( Quotient )——(同構意義下)某個定義在
上的環同態的像。[註 13]
一個環的環同態、子環、雙邊理想、商環共同刻劃了環的結構。
具有額外性質的環
交換環( commutative ring )
如果一個環
還額外滿足:
- 乘法的交換律:對於所有
:
![{\displaystyle a\times b=b\times a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d66fd09c6072e183e3395a174fd66dac99e514)
則稱
是一個交換環。交換環是最被深入研究的一類環,其中包括以下幾類:
- 整環( Integral domain ):沒有零因子的交換環。
- 唯一分解整環( Unique factorization domain ):可以唯一分解任何元素的整環。
- 主理想整環( Principal ideal domain ):所有理想都是主理想的整環。
- 歐幾里得整環( Euclidean domain ):可以進行歐幾里得演算法(輾轉相除法)的整環。
- 體( Field ):非零元素都有乘法反元素的交換環。
- 代數閉體( Algebraically closed field ):所有多項式[註 14]都有根的體。
非交換環
所謂的非交換環實際上是指「不假設是交換環」的環,這樣子的環有:
- 除環( Division ring ):非零元素都有乘法反元素的環(可能不交換)。
- 單環( Simple ring ):沒有非平凡雙邊理想的環。
從已知的環建構出其他環的方式
直積
給定數個環
,可以考慮這些環作為集合的笛卡爾積:
可以在這個集合上用以下方式定義加法和乘法:
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73004c6d93e3348d1ea7d78094f3a57e740ee988)
這使得
構成一個環。稱為
的直積( Direct product );它的法單位元是
乘法單位元是
這種概念可以推廣到無限多個環、甚至不可數多個環的直積。
多項式環
給定一個環
,可以考慮以這個環作為系數的多項式:
可以仿照一般的實系數多項式運算規則,為這個集合定義加法和乘法:![{\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}\right):=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})x^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a88d15db3bfa012c546ee8820301de247744dd)
在這樣的運算規則下,
被稱為是
的多項式環;它的加法單位元以及乘法單位元與
相同。
矩陣環
給定一個環
,可以考慮以這個環作為系數、大小為
的矩陣:
同樣可以仿照一般的矩陣運算規則,為這個集合定義加法和乘法:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}+{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2}&\dots &a_{1,n}+b_{1,n}\\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&\dots &a_{2,n}+b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}+b_{n,1}&a_{n,2}+b_{n,2}&\dots &a_{n,n}+b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029c19994d8f15d6180811ad68e8a054647612f3)
那麼
在這樣的運算規則下,構成一個環。它的加法單位元是零矩陣 :
乘法單位元則是單位矩陣 :
同樣的,可以考慮任何環
的矩陣環
。矩陣環也是典型的非交換環。
局部化與分式體
局部化的概念並不是對任何的環都有效,在大多數時候,只會考慮交換環的局部化。粗略地說,局部化是「加入某些元素的乘法反元素」;而分式體則是透過「加入所有非零元素的乘法反元素」來定義。分式體最著名的例子就是從整數構造有理數的過程。
更抽象地講,一個環對某些元素的局部化是「使得這些元素可逆的、最小的環」;在這種意義下,分式體就是「使得非零元素可逆的、最小的環」。而這個概念實際上就是——「包含這個環的最小的體」。
交換環與代數幾何的關係
交換環是乘法滿足交換律的環。這種環和代數幾何有着深遠的關聯性,體現在交換環範疇
和仿射概形範疇
有着如下對偶性:
這種對偶性使得交換環的代數性質可以轉換成仿射概形的幾何性質。
參見
備註
引用
參考文獻
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外部連結