在訊號處理 及控制理論 中，有界輸入有界輸出穩定性 簡稱BIBO穩定性 ，是一種針對有輸入訊號線性系統 的穩定性 。BIBO是「有界輸入有界輸出」（Bounded-Input Bounded-Output）的簡稱，若系統有BIBO穩定性，則針對每一個有界的輸入，系統的輸出也都會有界，不會發散到無限大。
對於訊號 若存在有限的定值
B
>
0
{\displaystyle B>0}
B
{\displaystyle B}
|
y
[
n
]
|
≤
B
∀
n
∈
Z
{\displaystyle \ |y[n]|\leq B\quad \forall n\in \mathbb {Z} }
|
y
(
t
)
|
≤
B
∀
t
∈
R
{\displaystyle \ |y(t)|\leq B\quad \forall t\in \mathbb {R} }
針對連續時間的線性非時變 （LTI）系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應 需為絕對可積分，也就是存在L1 範數
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
d
t
=
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t}=\|h\|_{1}<\infty }
針對離散時間的線性非時變系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應 需為絕對可積分，也就是存在L1 範數
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
=
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }
假設離散時間的線性非時變系統，其脈衝響應
h
[
n
]
{\displaystyle \ h[n]}
x
[
n
]
{\displaystyle \ x[n]}
y
[
n
]
{\displaystyle \ y[n]}
y
[
n
]
=
h
[
n
]
∗
x
[
n
]
{\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}
其中
∗
{\displaystyle *}
卷積
則依卷積的定義：
y
[
n
]
=
∑
k
=
−
∞
∞
h
[
k
]
x
[
n
−
k
]
{\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}
令
‖
x
‖
∞
{\displaystyle \|x\|_{\infty }}
|
x
[
n
]
|
{\displaystyle \ |x[n]|}
|
y
[
n
]
|
=
|
∑
k
=
−
∞
∞
h
[
n
−
k
]
x
[
k
]
|
{\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|}
≤
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
n
−
k
]
|
|
x
[
k
]
|
{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}}
三角不等式 ）
≤
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
n
−
k
]
|
‖
x
‖
∞
{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}}
=
‖
x
‖
∞
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
n
−
k
]
|
{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}}
=
‖
x
‖
∞
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
k
]
|
{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}}
若
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
k
]
|
=
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }
‖
x
‖
∞
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
k
]
|
=
‖
x
‖
∞
‖
h
‖
1
{\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}
因此若
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
|
x
[
n
]
|
{\displaystyle \left|x[n]\right|}
‖
x
‖
∞
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}<\infty }
|
y
[
n
]
|
{\displaystyle \left|y[n]\right|}
連續時間的情形也可以依類似的方式證明。
對於一個有理 的連續時間系統，穩定性的條件是拉普拉斯轉換 的收斂區域 包括複數平面 的虛軸。若系統為因果系統 ，其收斂區域為「最大極點」（實部為最大值的極點）實部垂直線往右的開集 ，定義收斂區域的極點實部稱為收斂橫坐標 S平面 的嚴格左半平面（不能在虛軸上）。
可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下：
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
d
t
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,\operatorname {d} t}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
|
e
−
j
ω
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|dt}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
(
1
⋅
e
)
−
j
ω
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|dt}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
(
e
σ
+
j
ω
)
−
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|dt}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
e
−
s
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)e^{-st}\right|dt}}
其中
s
=
σ
+
j
ω
{\displaystyle s=\sigma +j\omega }
Re
(
s
)
=
σ
=
0
{\displaystyle {\mbox{Re}}(s)=\sigma =0}
因此收斂區域 必須包括虛軸。
對於一個有理 的離散時間 系統，穩定性的條件是Z轉換 的收斂區域 包括單位圓 。若系統為因果系統 ，其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集 ，因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在Z平面 的單位圓內（不能在單位圓上）。
可以用類似的方式推導穩定性準則：
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
|
e
−
j
ω
n
|
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}}
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
(
1
⋅
e
)
−
j
ω
n
|
{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|}}
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
(
r
e
j
ω
)
−
n
|
{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|}}
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
z
−
n
|
{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}}
其中
z
=
r
e
j
ω
{\displaystyle z=re^{j\omega }}
r
=
|
z
|
=
1
{\displaystyle r=|z|=1}
因此收斂區域 必須包括單位圓 。
Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
Proof of the necessary conditions for BIBO stability. （頁面存檔備份 ，存於互聯網檔案館 ）Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577
![{\displaystyle \ |y[n]|\leq B\quad \forall n\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44876ba987ca7444c0cd3a33e25084d314d7d442)
![{\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161d1bac676ba1aabc6c40e3544506d80acef0d5)
![{\displaystyle \ h[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510ff22bd387c23a8194c0b2cee7d630f48d2659)
![{\displaystyle \ x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ced457fbdfb2c87a5cb5375b403a1c1c8212f6)
![{\displaystyle \ y[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44518ac8f35f9734dd0907891bb38262ef2d052)
![{\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9d890ceb9b201729dcc4bf5844face94b58215)
![{\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a582c4fdbf53782af354d76509cd8a2dd679cd)
![{\displaystyle \ |x[n]|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d03157f1295930f4074ed4f8bca5a6992c1d97)
![{\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5759164337cce80f7232d8bdb129d48d9f9bec)
![{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ed90b0c4de65376f6eb3a812bd2d000a95f7f2)
![{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414e6e5f006c4e99d1069c8a92386dc63471f2c3)
![{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ddf05b59424b195df02e031c7b1b6d85eba0b4)
![{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d49d06ec3aaf8a951b669b5a1dc9ad33a793410)
![{\displaystyle h[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89981bbbb05ffd469eeadb828c18359965985e46)
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f61a9de3747a6d7db4a14ff85ab624a7807d56)
![{\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4814b58f6e710292272c780891426f31894517)
![{\displaystyle \left|x[n]\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a14fb4079caabff0e9005ab6218e321fecb4d30)
![{\displaystyle \left|y[n]\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669347cb1262a4ca0c5bcddec292b20e93f6591f)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3beac28a0c80a00962fa07aa6d35bf2e8d93944)
^{-j\omega n}\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80181de05a13e0bc0ae329ecf551d1e743240d69)
^{-n}\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d301c384ee3171c46d53ae1938f58432fe85d060)
![{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a359ea08959c3975802edc55a493d50ba536852)
