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循序可測過程

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數學中,循序可測隨機過程的一種性質。循序可測性質是隨機過程研究中用到的一種重要性質,能夠保證停過程可測性。循序可測性比隨機過程的適應性更加嚴格[1]:4-5。循序可測過程在伊藤積分理論中有重要應用。

定義

設有

  • 概率空間
  • 測度空間,狀態空間;
  • σ-代數上的參考族
  • 隨機過程指標集也可以是有限時間或離散時間)。

則隨機過程是循序可測過程若且唯若對任意的時刻映射

都是 -可測的[2]:110是循序可測過程可以推出它必然是適應過程[1]:5

子集是循序可測集合若且唯若指示過程

是循序可測過程。所有循序可測的子集構成上的一個σ-代數,一般記為。一個隨機過程是循序可測過程若且唯若它(在被看作上的隨機變量時)是-可測的[3]:190

性質

  • 如果一個適應隨機過程是左連續或右連續的,那麼它是循序可測過程。特別地,左極限右連續的適應隨機過程是循序可測過程[3]:191
  • 是一維的標準布朗運動過程,為關於的參考族的(實值的)循序可測過程,並且滿足,那麼我們可以定義關於的隨機積分:[2]:146-147,而且滿足
    [3]:192[2]:141
  • 一個隨機過程修正modification)是指另一個隨機過程,滿足 可以證明,儘管不是每個可測的適應隨機過程都是循序可測的,但必然擁有一個循序可測的修正[2]:110

參見

參考來源

  1. ^ 1.0 1.1 (英文)Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven. Brownian Motion and Stochastic Calculus 2nd. Springer. 1991. ISBN 0-387-97655-8. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 (英文)Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Berlin: Springer. 2011. ISBN 978-8847017801. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 (英文)Peter Mörters, Yuval Peres. Brownian Motion. Cambridge University Press Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 2010. ISBN 9780521760188.