庫拉托夫斯基閉包公理可來定義一個集上的拓撲結構,它和以開集作定義拓樸結構的公理等價。
定義
拓樸空間
是集合
及作用在
的冪集上的閉包算子
。
閉包算子需符合以下條件:
![{\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} (A)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a0f0f5af9a3c1958f069ce8362efbd83b0af06)
(等冪性)
![{\displaystyle \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711448327eabf94d7e79551a59e8c3910c944852)
![{\displaystyle \operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97de7fa19e610136d73794c958d8b5da577acef0)
如果不要求第二個公理即冪等公理,則剩下的公理定義了預閉包算子。
等價的證明
從由閉包算子定義的拓撲空間開始。A 稱為在
是閉合的,若
。亦即,X 的閉集是閉包算子的不動點。
若稱「開集」為其補集為閉集的集合,則所有開集會形成一個拓撲,證明如下:
- 由公理4.可知
為閉集;由公理1.及閉包算子的閉合性可知X 為閉集。因此,X 及
(分別為
及X 的補集)為開集。
- 令X 的子集
(其中
為任意集合)皆為開集,由公理1.及閉集的定義可知
為開集。
- 令X 的子集A 及B 為開集,由公理3.可知
為開集。
相反地,由開集定義的拓撲也可推導至由閉包算子定義的拓撲空間。令外,也可得出下列等價的定義:
兩個拓撲空間之間的函數
![{\displaystyle f:(X,\operatorname {cl} )\to (X',\operatorname {cl} ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8a7df708e8a2744957dfe952f60983dce3ec59)
稱為連續的,若對所有X 的子集A',
![{\displaystyle f(\operatorname {cl} (A))\subset \operatorname {cl} '(f(A))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7184726e720cb85e55ce8e6ead02881923932610)
一個點稱之為在
內是接近A 的,若
。