鏡射 (數學)
在數學中,鏡射是把一個物體變換成它的鏡像的映射。要鏡射一個平面圖形,需要「鏡子」是一條直線(鏡射軸),對於三維空間中的鏡射就要使用平面作為鏡子。鏡射有時被認為是圓反演的特殊情情況,參考圓有無限半徑。
在幾何上說,要找到一個點的鏡射,可從這個點向鏡射軸畫一條垂線。並在另一邊延續相同的距離。要找到一個圖形的鏡射,需要鏡射這個圖形的每個點。
兩次鏡射回到原來的地方。鏡射保持在點之間的距離。鏡射不移動在鏡子上的點,鏡子的維數比發生鏡射的空間的維數要小1。這些觀察允許我們形式化鏡射的定義:鏡射是歐幾里得空間的對合等距同構,它的不動點集合是余維數為1的仿射子空間。
在經歷特定鏡射後不改變的圖形被稱為有鏡射對稱性。
密切關聯於鏡射的是斜鏡射和圓反演。這些變換仍對合於有餘維數1的不動點的集合,但它們不再是等距的。
豪斯霍爾德變換
給定在歐幾里得空間Rn中的一個向量a,在通過原點的正交於a的超平面中的鏡射的公式是
這裏的v·a指示v和a的點積。注意在上面等式中的第二項就是v在a上的投影的兩倍。可以輕易的檢查
- Refa(v) = − v,如果v平行於a,
- Refa(v) = v,如果v垂直於a。
因為這些鏡射是歐幾里得空間的固定原點的等距同構,它們可以表示為正交矩陣。對應於上面鏡射的正交矩陣是有如下元素的矩陣
這裏的δij是克羅內克δ。
在仿射超平面中的鏡射的公式是
任何一個Rn中正交變換都能寫成一些鏡射的複合,且映射的個數可以不多於n個,這是嘉當-迪厄多內定理的結論。對於不定空間Rp,q也是成立的。