在數學中,一個雙線性映射是由兩個向量空間上的元素,生成第三個向量空間上一個元素之函數,並且該函數對每個參數都是線性的。例如矩陣乘法就是一個例子。
定義
設
,
和
是在同一個基礎域
上的三個向量空間。雙線性映射是函數
![{\displaystyle B:V\times W\rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765e7d8686379575d25cbe67efb85bbf844855d8)
使得對於任何
中
,映射
![{\displaystyle v\mapsto B\left(v,w\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ad906390114b3f5efa21f1701c61d12951bec1)
是從
到
的線性映射,並且對於任何
中的
,映射
![{\displaystyle w\mapsto B(v,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6fd00ae72cc3b6e316c6dc0ff89079aa406c8d)
是從
到
的線性映射。
換句話說,如果保持雙線性映射的第一個參數固定,並留下第二個參數可變,結果就是線性算子,如果保持第二個參數固定也是類似的。
如果
並且有
對於所有
中的
,則我們稱
是對稱的。
當這裏的
是
的時候,我們稱之為雙線性形式,它特別有用(參見例子純量積、內積和二次形式)。
如果使用在交換環
上的模替代向量空間,定義不需要任何改變。還可容易的推廣到
元函數,這裏正確的術語是「多線性」。
對非交換基礎環
和右模
與左模
的情況,我們可以定義雙線性映射
,這裏的
是阿貝爾環,使得對於任何
中的
是群同態,而對於任何
中的
是群同態,並還滿足
![{\displaystyle B\left(mt,n\right)=B\left(m,tn\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b360d82e8d5eec0cb6ccefa3bdc86d1c472317a0)
對於所有的
中的
,
中
和
中的
。
定義
,
,
是有限維的,則
也是有限維的。對於
就是雙線性形式,這個空間的維度是
(儘管線性形式的空間
的維度是
)。看得出來,選擇
和
的基;接着每個線性映射可以唯一的表示為矩陣
,反之亦然。現在,如果
是更高維的空間,我們明顯的有
。
例子
- 矩陣乘法是雙線性映射
。
- 如果在實數
上的向量空間
承載了內積,則內積是雙線性映射
。
- 一般的說,對於在域
上的向量空間
,在
上的雙線性形式同於雙線性映射
。
- 如果
是有對偶空間
的向量空間,則應用算子
是從
到基礎域的雙線性映射。
- 設
和
是在同一個基礎域
上的向量空間。如果
是
的成員而
是
的成員,則
定義雙線性映射
。
- 在
中叉積是雙線性映射
。
- 設
是雙線性映射,而
是線性算子,則
是在
上的雙線性映射。
- 零映射,定義於
對於所有
中的
,是從
到
的同時為雙線性映射和線性映射的唯一映射。實際上,如果
,則
。
參見