數學上,勒貝格微分定理是實分析的一條定理。這條定理大致是說,一個局部可積函數在幾乎每點的值,都是函數在該點為中心的無限小的球上的平均。換言之,該函數的定義域上幾乎處處都是勒貝格點。
定理敘述
設
為實值或復值的局部可積函數,m為
的勒貝格測度。那麼
中幾乎處處的x都符合
![{\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|f(y)-f(x)\right|dm(y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e693f3759abc81847d52c983951a4aec288321e)
使上式成立的點稱為
的勒貝格點。
證明
因為這定理是關於函數的局部性質,不失一般性,可假設函數f定義在有界集合中,故f為可積函數。
定義
![{\displaystyle (T_{r}f)(x)={\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|f(y)-f(x)\right|dm(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d3b5027745c158265a0108ecebdd0fb9b44b8e4)
![{\displaystyle (Tf)(x)=\limsup _{r\to 0}(T_{r}f)(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a6b2da947fcb7ca077a12606cf2ad5efb7c067)
那麼這定理就是對幾乎處處的x有Tf = 0。只需證對任何y > 0,集合{Tf > y}的測度為零。
對連續函數,這定理顯然成立。連續函數在
中稠密,故此對任意正整數n,有連續函數g使得
。
令
。由於g連續,有Tg = 0。
用三角不等式有
![{\displaystyle (T_{r}h)(x)\leq {\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|h\right|dm+|h(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368ccbeb539f35dcff0c54a548fc89668635fe75)
設
。(Mh為h的哈代-李特爾伍德極大函數。)從上式得
![{\displaystyle Th\leq Mh+|h|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e661c8aad2d479125b6b21ca9fa57eedf6a08200)
因為
,所以有
![{\displaystyle Tf\leq Th\leq Mh+|h|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cdcdb388f34b038f2d7a8c535defccde834c495)
若Tf > y,則有Mh > y/2或者|h| > y/2。因此
由哈代-李特爾伍德極大不等式得
![{\displaystyle m\{Mh>y/2\}\leq 3^{k}(2/y)\|h\|_{\mathrm {L} ^{1}}<3^{k}\cdot 2/(ny)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667f20cff44c10184b055e416d8eca7546797dc5)
由積分的基本性質有
![{\displaystyle m\{|h|>y/2\}y/2\leq \|h\|_{\mathrm {L} ^{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f887c77ba7dc2cdabb555e6a92e606c335eb53)
故得
![{\displaystyle m\{|h|>y/2\}\leq 2/(ny)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/569f0f13509fb0ff25c2384a9d770ffc01f46d29)
因此
![{\displaystyle {\begin{aligned}&m\{Tf>y\}\\&\leq m\{Mh>y/2\}+m\{|h|>y/2\}\\&<2(3^{k}+1)/(ny)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51bac3bdeffb08d6f6b5c6c3eb4ddea1243056e)
因為上式對所有正整數n成立,從而知m{Tf > y}=0。定理得證。
參考
- Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.