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五邊形鑲嵌

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已知的15種凸五邊形鑲嵌

幾何學中,五邊形鑲嵌是指用五邊形鑲嵌平面。

正五邊形不能鑲嵌平面,因為其內角是108°,不能整除360°。截至2015年 (2015-Missing required parameter 1=month!),已知有15種凸五邊形鑲嵌平面。2017年5月,里昂高等師範學校Michaël Rao宣稱已證明只存在上述的15種凸五邊形鑲嵌平面情況。[1]

歷史

Reinhardt (1918)發現了「鑲嵌塊遞移」(tile transitive)的5種五邊形鑲嵌,即是說鑲嵌的對稱性可以將任何一塊帶到任何另一塊(用數學語言描述,鑲嵌的自同構群作用在鑲嵌塊上是可遞的。)Kershner (1968)發現了3種新的五邊形鑲嵌,都不是鑲嵌遞移的;他錯誤聲稱已經找出所有的五邊形鑲嵌。1975年Richard E. James III找到第9種。Schattschneider (1978)描述業餘數學家瑪喬里·賴斯在1976至1977年間找到新的4種五邊形鑲嵌。Schattschneider (1985)描述Rolf Stein在1985年找到的第14種五邊形鑲嵌。Bagina (2011)證明邊對邊(edge-to-edge)的凸五邊形鑲嵌只有8種,Sugimoto (2012)獨立證出同一結果。2015年,華盛頓大學數學家Casey Mann、Jennifer McLoud和David Von Derau發現了第15種五邊形鑲嵌,使用了電腦算法搜尋。[2]

五邊形的性質

15種凸五邊形鑲嵌平面
1 2 3 4 5

B+C=180°
A+D+E=360°

c=e
B+D=180°

a = b, d = c + e
A = C = D = 120°

b = c, d = e
B = D = 90°

a = b, d = e
A = 60°, D = 120°
6 7 8 9 10

a = d = e, b = c
B + D = 180°, 2B = E

b = c = d = e
B + 2E = 2C + D = 360°

b = c = d = e
2B + C = D + 2E = 360°

b = c = d = e
2A + C = D + 2E = 360°

a = b = c + e
A = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360°
11 12 13 14 15

2a + c = d = e
A = 90°, 2B + C = 360°
C + E = 180°

2a = d = c + e
A = 90°, 2B + C = 360°
C + E = 180°

d = 2a = 2e
B = E = 90°, 2A + D = 360°

2a = 2c = d = e
A = 90°, B ≈ 145.34°, C ≈ 69.32°,
D ≈ 124.66°, E ≈ 110.68°
(2B + C = 360°, C + E = 180°).

a = c = e, b = 2a
A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90°

參考文獻

引用

  1. ^ Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane (PDF). [2017-07-19]. (原始內容存檔 (PDF)於2020-11-12). 
  2. ^ Bellos, Alex. Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile. The Guardian. 11 August 2015 [2015-08-18]. (原始內容存檔於2015-08-18). 
引用錯誤:在<references>標籤中name屬性為「NPR」的參考文獻沒有在文中使用

來源

外部連結

參見