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主叢

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數學上,一個G主叢(principal G-bundle)是一種特殊的纖維叢,其纖維為拓撲群G的作用的扭子(torsor)(也稱為主齊性空間)。主G叢是G叢,因為群G也是叢的結構群

主叢在拓撲學微分幾何中有重要應用。他們在物理學中也有應用,他們組成了規範理論的基礎框架的一部分。主叢為纖維叢的理論提供了一個統一的框架,因為所有纖維叢及其結構群G決定了一個唯一的主G叢,從該主叢可以重建原來的那個叢。

形式化定義

一個主G叢是一個纖維叢π : PX ,及一個拓撲群G連續右作用P × GP,該作用保持P的纖維不變並在纖維上自由和推移式的作用。(經常會要求基空間X豪斯多夫空間,還可能要求仿緊)。叢的抽象纖維取為G本身。

由此可知,G作用的軌道正好就是π : PX的纖維而軌道空間P/G和基空間X同胚。要求G在纖維上自由和推移的作用意味着纖維具有G-旋子的結構。一個G-旋子是同胚於G的空間但沒有群的結構,因為它沒有一個特定的單位元的選擇。

G叢的局部平凡化必須是G等變(equivariant)映射,使得纖維的G-旋子結構得到保持。確切地說,這表示如果

是一個有形式的局部平凡化,則

主叢也可定義在光滑流形範疇中。這裏π : PX要求是一個光滑流形間的光滑映射G要求為李群,而相應的P上的作用也要光滑。

最普通的光滑主叢的例子是光滑流形M標架叢。這裏,M中一點x上的纖維是切空間TxM的所有標架(有序的基)。一般線性群(general linear group) GL(n,R)在這些標架上簡單推移的作用。這些纖維可以一種自然的方式粘在一起,從而得到一個M上的主GL(n,R)叢。

上面這個例子的變種包括黎曼流形正交標架叢(orthonormal frame bundle)。這裏,標架必須對於度量張量正交。結構群是正交群O(n).

一個正則(正規)覆疊空間p : CX是一個主叢,其中,結構群通過單值作用(monodromy action)作用在C上。特別的有,X萬有覆疊(universal cover)是以為結構群的X上的主叢。

G為李群而H為閉子群。則GG/HH的左陪集空間)上的主H叢。這裏HG上的作用就是右乘。

射影空間提供了更多主叢的有趣例子。回想一下,n- Sn是一個實射影空間(real projective space) RPn的兩層的覆疊空間。 O(1)在Sn上的自然作用給它RPn上的主O(1)叢的結構。同樣,S2n+1是一個復射影空間(complex projective space) CPn上的主U(1)叢,而S4n+3四元數射影空間(quaternionic projective space) HPn上的主Sp(1)-叢。這樣,對每個正的n,我們有一系列的主叢:

這裏S(V)表示V(用歐氏度量)中的單位球。對於所有這些例子,n = 1的情況給出了所謂的霍普夫叢

主叢的表述

如果π : PX是一個光滑主G叢,則GP上的作用是自由和(proper)的,使得軌道空間P/G微分同胚於基空間X。事實上,這些性質完全歸納了光滑主從的特徵。也就是說,如果P是一個光滑流形,G是李群而μ : P × GP是一個光滑,自由,和真的右作用,則

  • P/G 是一個光滑流形,
  • 自然投影π : PP/G是一個光滑淹沒(submersion),
  • P是一個P/G上的光滑主G從。

參看

參考

  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 See section 1.7.
  • David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7 See Chapter 1.