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在組合數論中,擴展圖(英語:Expander graph)是一種具有強連通性質的疏鬆圖,具體而言,看可用邊、頂點或圖譜擴展性(expansion)三種方式定義。擴展圖的構造問題引導了多個數學分支上的研究,它還在計算複雜性理論、計算機網絡設計和編碼理論上有諸多應用[1]。
定義
簡而言之,擴展圖是一個有限無向多重圖,其中每一組不「太大」的頂點均具有「很大」的邊界(boundary)。不同的具體定義給出了不同種類的擴展圖,下文將討論邊擴展圖、頂點擴展圖和譜擴展圖(spectral expander)三個概念。
非連通圖不是擴展圖,因為每一個連通分量都沒有邊界——分量周圍沒有邊進出,每一個連通圖都是擴展圖,只是他們的擴展性強弱不同。完全圖具有最強的擴展性,但卻很稠密(dense)。一個好的擴展圖應具有強擴展性,並且頂點度數較小。
邊擴展度
包含 個頂點的圖 的邊擴展度 定義為
其中 為子集 的邊界。
注意在此一定義中,最小值取於所有非空、但包含不超過 個頂點的子集[2]。
頂點擴展度
圖 G 的頂點擴展度 定義為
此處 是集合 的外邊緣,即所有不在 中但與一個 中的頂點相鄰的頂點[3]。頂點擴展度這一概念的一個變體稱作「唯一鄰點擴展度」(unique neighbor expansion),在這裡 指全部僅有一個相鄰頂點在 中的頂點[4]。
腳註
- ^ Hoory,Linial & Widgerson (2006)
- ^ Definition 2.1 in Hoory,Linial & Widgerson (2006)
- ^ Bobkov,Houdré & Tetali (2000)
- ^ Alon & Capalbo (2002)
參考來源
教科書和文獻綜述
- Alon, N.; Spencer, Joel H. 9.2. Eigenvalues and Expanders. The Probabilistic Method 3rd. John Wiley & Sons. 2011.
- Chung, Fan R. K., Spectral Graph Theory, CBMS Regional Conference Series in Mathematics 92, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-0315-8
- Davidoff, Guiliana; Sarnak, Peter; Valette, Alain, Elementary number theory, group theory and Ramanujan graphs, LMS student texts 55, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-53143-8
- Hoory, Shlomo; Linial, Nathan; Widgerson, Avi, Expander graphs and their applications (PDF), Bulletin (New series) of the American Mathematical Society, 2006, 43 (4): 439–561, doi:10.1090/S0273-0979-06-01126-8
- Krebs, Mike; Shaheen, Anthony, Expander families and Cayley graphs: A beginner's guide, Oxford University Press, 2011, ISBN 0-19-976711-4
研究論文
- Ajtai, M.; Komlós, J.; Szemerédi, E., An O(n log n) sorting network, Proceedings of the 15th Annual ACM Symposium on Theory of Computing: 1–9, 1983, ISBN 0-89791-099-0, doi:10.1145/800061.808726
- Ajtai, M.; Komlós, J.; Szemerédi, E., Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, ACM, 1987: 132–140, ISBN 0-89791-221-7, doi:10.1145/28395.28410
- Alon, N.; Capalbo, M. Explicit unique-neighbor expanders. The 43rd Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 2002. Proceedings. 2002: 73. ISBN 0-7695-1822-2. doi:10.1109/SFCS.2002.1181884.
- Bobkov, S.; Houdré, C.; Tetali, P., λ∞, vertex isoperimetry and concentration, Combinatorica, 2000, 20 (2): 153–172, doi:10.1007/s004930070018.
- Dinur, Irit, The PCP theorem by gap amplification, Journal of the ACM, 2007, 54 (3): 12–es, doi:10.1145/1236457.1236459.
- Gillman, D., A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs, SIAM Journal on Computing (Society for Industrial and Applied Mathematics), 1998, 27 (4,): 1203–1220, doi:10.1137/S0097539794268765
- Goldreich, Oded, Basic Facts about Expander Graphs, Studies in Complexity and Cryptography, 2011: 451–464, doi:10.1007/978-3-642-22670-0_30
- Reingold, Omer, Undirected connectivity in log-space, Journal of the ACM, 2008, 55 (4): Article 17, 24 pages, doi:10.1145/1391289.1391291
- Yehudayoff, Amir, Proving expansion in three steps, ACM SIGACT News, 2012, 43 (3): 67–84, doi:10.1145/2421096.2421115