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Meijer G-函數

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Meijer G-函數是荷蘭數學家梅耶爾引入的一種特殊函數。它是廣義超幾何函數的推廣,絕大多數的特殊函數都可以用 Meijer G-函數表示出來。

定義

廣義超幾何函數有下列一般的積分表達式(參見相關小節):

其中積分路徑 C 視參數 p, q 的相對大小而定。上面的積分表達式具有 Mellin 逆變換的形式。

Meijer-G 函數是上面積分表達式的一個推廣,它的定義為:

其中積分路徑 C 視參數的相對大小而定[注 1]。但是,為了保證至少一條積分路徑有定義,要求

在書寫 Meijer-G 函數時要注意,上標中的第一個參數和下標中的第二個參數對應的是 bk,而上標中的第二個參數和下標中的第一個參數對應的是 ak

對比上述兩式可以得到廣義超幾何函數和 Meijer-G 函數的關係:

基本性質

和廣義超幾何函數一樣,如果上下兩個向量組在合適的位置有相同的元素,則 Meijer-G 函數可以降階,此處不再贅述。

一般關係式

Meijer-G 函數的導函數具有下列性質:

注意 h 可以取任意整數值,取負數時表示不定積分

另一方面,

上面的式子都可以直接由定義得到。

向量組中兩個元素相差整數時的關係式

又有

微分方程

由上面一般關係式一節的討論知 Meijer-G 函數滿足下列微分方程,它與廣義超幾何函數滿足的微分方程形式上很類似。

.

這是一個 max(p,q) 階的線性微分方程,在 z=0 附近的基本解組可以選取為

p=q 時兩種取法都可以。

m, n 的取值上就可以看到它們跟廣義超幾何函數有直接的聯繫。事實上的確如此,以第一種情況為例,

等號右邊的 Meijer-G 函數顯然就是廣義超幾何函數。

特殊情形

因為廣義超幾何函數是 Meijer-G 函數的特殊情形,故所有可以用廣義超幾何函數表示的特殊函數都可以用 Meijer-G 函數表示,但是,在個別情況下,用 Meijer-G 函數有更簡單的表示式,例子如諾依曼函數,它可以用超幾何函數0F1表示,但表示式僅僅是將(第一類)貝塞爾函數的超幾何函數表示式代入其定義式中,因此含有兩個超幾何函數。而用 Meijer-G 函數就可以直接表示為:

另外一個例子是不完全伽瑪函數對參變量的偏導數,它無法用廣義超幾何函數表出,但可以用 Meijer-G 函數表出:

事實上,不完全伽瑪函數對參變量的高階偏導數也可以用 Meijer-G 函數表出,詳見不完全Γ函數一文。

推廣

如同廣義超幾何函數和Kampé de Fériet函數(雙變量的廣義超幾何函數)的關係那樣,Meijer G-函數也可以被推廣到兩個變量的情況:

  1. ^ 具體可參見DLMF上的圖頁面存檔備份,存於網際網路檔案館

參考文獻

外部連結