在數學上,韋達定理(英語:Vieta's formulas),又稱根與係數的關係,給出了多項式方程的根與係數的關係。該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達發現,並因此得名。
韋達定理常用於代數領域。它的實用之處在於,能夠不用把根直接解出來就能計算根之間的關係。
內容
設
是一個一元 n 次實(或複)係數多項式,首項系數
,令 P 的 n 個根為
,則根
和係數
之間滿足關係式
![{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9cffcdee37df924589194475b7cc44a6b1f155)
等價的說,對任何 k = 1, 2, ..., n,係數比
是所有任取 k 個根的乘積的和的
倍,即
![{\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f9f93dec62bac30399fdd3dbb5eac0ef0cd901)
- 或:
![{\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}x_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e89d09030b849a3585842c7e29806e23606b87)
其中
是要讓所有的根的組合都恰好出現一次。
事實上,等號的左邊被稱作是初等對稱多項式。
證明
因為
是一元 n 次多項式
的 n 個根。於是有
![{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314590d505258c2e98edc95f285246849ba961b9)
根據乘法原理展開右式,比較等號兩邊的各項係數可得
![{\displaystyle {\begin{cases}a_{n-1}=-a_{n}(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n})\\a_{n-2}=a_{n}\left((x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}\right)\\{}\quad \vdots \\a_{0}=(-1)^{n}a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b6ae26d2402454d78f55b9f25a4e06591ddfb9)
上式等同於韋達定理的敘述。
特例
n=2
設
是一元二次多項式
的兩根,則由
有
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7f5bcb50b9dfcdfc04e075deba4a2ac6f1746c)
這個特殊情況除之前提到的證明方法,也可以直接用求根公式即
,
證明:
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+\left(-b\right)-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3ad4ce683eba93c17cf727fde7d13e5dbe4df0)
![{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{\left(2a\right)^{2}}}={\frac {c}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ecce0a1be50fc04db23fdf405ab6ffc9048c0b8)
在這個情況下,韋達定理的逆定理同樣成立:給定一個一元二次多項式
,如果有兩個數
,滿足
和
,則
就是多項式
的兩根。
n=3
設
是一元三次多項式
的三根,則
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18289a51a72c0e7678b1eb2bd355b7dd1a14ac2)
推廣至環
韋達定理經常使用在討論整環 R 上多項式,換言之多項式係數都落在 R 上。此時,分數
在 R 中不見得有定義,除非
本身是可逆元。但
在 R 的分式環 K 中有定義,而根
則在 K 的代數閉包
中有定義。特別的,如果 R 是整數環
,則 K 是有理數體
,
是複數體
。
如果多項式 P(x) 定義在一般非整環的交換環上,則韋達定理可能在兩個地方出錯。第一,
可能不是零因子,因此不能出現在分母。第二 P(x) 可能不等於
。第一點算是顯而易見,以下給出一個第二點的例子。在環
中,多項式
有四個根 1、3、5、7,根數比多項式的次數還多。此外,如果隨便取兩根出來,例如
,
,會發現
,但是有時候如果根取的剛好,卻又可能會有
和
。
歷史
在 16 世紀,韋達發現了所有根都是正整數的版本,至於一般的版本 (根是實數),可能首次由法國數學家 Albert Girard 提出。Funkhouser 引用了18 世紀英國數學家查爾斯·赫頓的話寫道[1]
...[Girard 是] 理解關於各次方項係數的和與積公式的一般性學說的第一人。他是找到關於將任意方程式的根的次方加總的規則的第一人。
參考資料
- Hazewinkel, Michiel (編), Viète theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Funkhouser, H. Gray, A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1930, 37 (7): 357–365, JSTOR 2299273, doi:10.2307/2299273
- Vinberg, E. B., A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003, ISBN 0-8218-3413-4
- Djukić, Dušan; et al, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6
參見