雅可比符號
在數論中,雅可比符號是勒讓德符號的一種推廣,首先由普魯士數學家卡爾·雅可比在1837年引進[1]。雅可比符號在數論中的各個分支中都有應用,尤其是在計算數論的素性檢驗、大數分解以及密碼學中有重要作用。
定義
如果p整除a; 如果存在整數 使得 且p不整除a 如果不存在整數 使得
- .
- ;
- .
- .
當 時,稱 是模的二次剩餘;當 時,稱 是模的二次非剩餘。
運用勒讓德符號計算時要將 分解成標準形式,計算上十分麻煩,因此產生了雅可比符號:
設 是一個正奇數,其質因數分解式為 ,並且正整數 滿足 那麼定義。
參見
- 克羅內克符號,將雅可比符號推廣到任意自然數上。
注釋
- ^ C.G.J.Jacobi "Uber die Kreisteilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie", Bericht Ak. Wiss. Berlin (1837) pp 127-136
參考來源
- Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), Cambridge: The MIT Press, 1996, ISBN 9780262024051
- Lemmermeyer, Franz, Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, 2000, ISBN 9783540669579
- Ireland, Kenneth; Rosen, Michael, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, 1990, ISBN 0-387-97329-X
- Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8
- Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549
外部連結
- Calculate Jacobi symbol gives a display like the ones in the examples.