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重言1形式

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數學中,重言 1-形式Tautological one-form)是流形 Q餘切叢 上一個特殊的 1-形式。這個形式的外導數定義了一個辛形式給出了 辛流形結構。重言 1-形式在哈密頓力學拉格朗日力學的形式化中起着重要的作用。重言 1-形式有時也稱為劉維爾 1-形式典範 1-形式,或者辛勢能。一個類似的對象是切叢上的典範向量場

典範坐標中,重言 1-形式由下式給出:

在差一個全微分(恰當形式)的意義下,相空間中的任何「保持」典範 1-形式結構的坐標系,可以稱之為典範坐標;不同典範坐標之間的變換稱為典範變換

典範辛形式

給出。

無坐標定義

重言 1-形式可以相當抽象地定義為相空間上一個 1-形式。設 是一個流形, 是其餘切空間或者說相空間。設

是典範纖維叢投影,令

誘導的前推。設 mM 上一點,然而因為 M 是餘切叢,我們可將 m 理解為切空間上一個函數,在 點為:

這樣,我們便有 m 是在 q 點的纖維中。重言 1-形式 在點 m 定義為

這是一個線性函數

所以

是流形 上一個 1-形式。不難驗證這種定義和上一節局部坐標的定義是相同的。

性質

重言 1-形式是惟一「消去」拉回的 1-形式。這便是說:若

Q 上任意一個 1-形式,而 是其拉回。那麼

以及

這些都可以用上一節的定義直接得到,如果寫成局部坐標的形式就最好理解:

作用量

如果 H餘切叢上一個哈密頓向量場,而 是其哈密頓流,那麼相應的作用量 S

用普通的方式表述,哈密頓流代表了一個力學系統在哈密頓-雅可比方程限制下的軌道。哈密頓流是哈密頓向量場的積分曲線,所以我們用作用量-角度坐標傳統記法:

這裡積分理解為在流形上的維持能量 為常數 的子集上進行。

在度量空間上

如果流形 Q 有一個黎曼或者偽黎曼度量 g,那麼相應的定義可以用廣義坐標寫出。特別地,如果我們取度量為映射

這樣便定義了

TQ 上的廣義坐標中 ,我們有

以及

度量使我們可定義 上的一個單位半徑球面(叢)。典範 1-形式限制到這些球面上組成了一個切觸結構;這個切觸結構可以用來生成關於這個度量的測地流

又見

參考文獻