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表面張力波

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水面漣漪
挪威厄克斯內斯Lifjord 的漣漪
水滴產生的漣漪

表面張力波(英語:Capillary wave)是延著液體相邊界英語phase boundary行進的,其動力學及相速度是由表面張力的效應所決定,在水面上的表面張力波常稱為漣漪

表面張力波是自然界常見的現象,其波長多半在數公分以內,而相速度約0.2-0.3公尺/秒。

若液體表面的波是受到表面張力、重力及液體慣性的影響,其波長會比較長,稱為重力-表面張力波(gravity–capillary waves)。一般的重力波波長會更長。

漣漪可能是在開放水體中由微風所產生,在開放海域中,由風產生的小漣漪可能會造成大的波濤

色散關係

色散關係說明在波當中波長頻率之間的關係。色散關係會出現在只受表面張力影響的純表面張力波中,也會出現在由重力和表面張力影響的重力-表面張力波中。

一般的表面張力波

在表面張力波中的色散關係是

其中ω角頻率σ表面張力ρ是較重流體的密度ρ'是較輕流體的密度,k波數。其波長 若在流體和真空中的邊界,其色散關係簡化為是

重力-表面張力波

在深水表面的重力-表面張力波(上方的密度為0,ρ′ = 0)。相速度及群速度除以後,會是相對波長倒數的函數
 · 藍線(A):相速度,紅線(B):群速度
 · 實線:重力-表面張力波色散關係。
 · 點線:深水重力波的色散關係
 · 虛點線:實際深水重力波的色散關係

一般而言,水也會受到重力的影響,因此稱為重力-表面張力波。若是無限深度的流體,其色散關係如下[1][2]

其中g標準重力ρρ'分別是二種流體的密度ρ > ρ『)。第一項的因子是阿特伍德數

重力波的範圍

若波長較大(波數k = 2π/λ較小),主要會受第一項,重力波的影響。

若到極限時,波的群速度會是相速度的一半。若跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進,會看到波在後面出現,成長,最後會在波群的前面消失。

表面張力波範圍

若波長較小(波數較大,例如在水-空氣介面中,波數到達2 mm),是表面張力波,情形恰好相反。跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進,會看到波在前面出現,成長,最後會在波群的後面消失。在極限時,群速度會是相速度的1.5倍。

相速度的最小值

在上述兩種極端條件之間,存在一個點,表面張力波產生的色散會和重力產生的色散相抵消。在該波長下,群速會等於相速,沒有色散。在該波長下,重力-表面張力波的相速有極小值。若波長遠大於臨界波長λm的波主要會受到表面張力影響,波長遠大於該值的波主要會受到重力影響。波長和最小相速度cm的關係如下[1]

針對空氣的界面,λm約為1.7 cm(0.67英寸),cm為0.23 m/s(0.75 ft/s).[1]

若小石頭或是水滴落入液面,漣漪會以同心圓往外擴散,最後水面會靜止。漣漪的同心圓會出現焦散英語caustic (optics),對應最小相速[3]

原理

理查德·費曼曾提過:「[水波]是每一個人都可以看到的現象,也在基礎教育中用來做為波的例子[......],但也是最壞的例子,[......]波可能會出現的複雜問題,在水波中都可可能出現。」[4]。在重力-表面張力波的色散關係中,也會有類似的情形[5]

一般會假設重力-表面張力波的能量來源有三個:重力、表面張力流體動力學。前兩個是勢能。在有關重力的部份,一般分析會假設流體的密度是定值(不可壓縮性),也會假設重力是定值(水波的高低還不足以造成重力顯著變化的程度)。有關表面張力,會假設表面的高度變化很小,針對一般水波,上述二個假設都可以成立。

能量來源的第三個是流體的動能,這部份最複雜,需要用流體動力學的技巧。此處會再假設不可壓縮性(若波的速度遠小於介質中聲速時成立),流場本身是保守向量場,因此流位流

相關條目

腳註

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Lamb (1994), §267, page 458–460.
  2. ^ Dingemans (1997), Section 2.1.1, p. 45.
    Phillips (1977), Section 3.2, p. 37.
  3. ^ Falkovich, G. Fluid Mechanics, a short course for physicists. Cambridge University Press. 2011. Section 3.1 and Exercise 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4. 
  4. ^ 理查德·費曼, R.B. Leighton, and M. Sands (1963). '費曼物理學講義. Addison-Wesley. Volume I, Chapter 51-4.
  5. ^ 在Safran (1994)中有更細節的敘述 for a more detailed description.

參考資料

外部連結