自然密度(英語:natural density),又稱漸進密度(英語:asymptotic density),是數論中度量自然數子集大小的工具之一。
簡介
以平方數集和自然數集的大小關係為例:
- 平方數集與自然數集都是可數無窮集,我們能夠在兩個集合間建立一一映射(對於任意的自然數都可以找到對應的平方數與之對應,反之亦然),即兩個集合是等勢的。
- 然而,這種基於基數的大小比較違反了自然數多於平方數的直觀認識,因為所有平方數都是自然數,而卻有許多自然數不是平方數,且隨着自然數的增大平方數會變得越來越稀少。通過將這種度量集合大小的直覺嚴格化,可以得到自然密度這一概念。
考慮自然數的一個子集和整數區間:
- 如果從整數區間中隨機選取一個整數,那麼這個整數屬於的概率應該等於與整數區間的交集中的所有元素在整數區間中的占比。當趨近於無窮時,若上述概率也趨近於某個極限,則將該極限定義為的自然密度。
- 的自然密度也可以被理解為:任取一個自然數,該自然數屬於的概率。
自然密度(以及一些其他類型的密度)也是概率數論的研究對象。
與施尼勒爾曼密度不同,並不是任何自然數的子集都有自然密度。這是自然密度的一個不足之處。
定義
對於一個自然數集的子集,當趨向於無窮時,若中不大於的元素個數與的比值收斂到,則稱的自然密度為。
更進一步,若定義為里不大於的元素個數,那麼命題「的自然密度為」等效於:
- ,當[1]
從定義中可以看出,若是某個集合的自然密度,則一定有。
上自然密度
設 是自然數集的一個子集。對任何,定義,。
則的上自然密度(英語:upper asymptotic density)為:
其中是上極限。 也可簡稱為的上密度。
下自然密度
同樣地,定義A的下自然密度(英語:lower asymptotic density)為:
自然密度的其他定義方法
1. 由上自然密度和下自然密度的定義,我們也可以說的自然密度是:
- 若,則等於(或 ) 。
2. 自然密度的定義還可以表示為:
- (若極限存在)[2]
3. 可以證明,下述命題也是自然密度的定義:
- 若將自然數集的子集寫作一個遞增數列:
- 那麼
- (若極限存在)
推廣
一個稍弱的密度定義是 上Banach密度(英語:upper Banach density)。對於,定義為:
性質
- 若對於集合存在,則對於其補集,成立。
- 若,及均存在,則成立。
- 自然數集的自然密度為,即成立。
- 對於自然數集的任意有限子集, 有成立。
- 對於平方數集,有成立。
- 對於偶數集,有成立。更一般地,對於等差級數組成的集合,有成立。
- 對於質數集合,由質數定理知:成立。
- 無平方數因數的數的集合的自然密度為。更一般地,無次方因數的數的集合的自然密度為,其中是黎曼ζ函數。
- 過剩數集合具有非零的自然密度[3]。Marc Deléglise在1998年證明了過剩數和完全數的集合的自然密度在0.2474與0.2480之間[4]。
- 所有在二進制表示法中位數為奇數的自然數的集合,即,不存在自然密度。這是因為該集合的上自然密度不等於下自然密度。
- 其上自然密度為:
- 而其下自然密度為:
- 同樣,所有十進制表示法中以開頭的自然數的集合也不具有自然密度。其上自然密度為而其下自然密度為。[1]
- 對區間[0,1]上的任意Equidistributed序列,定義單調集族:
- 則依定義有:
- 對於任意的,。
- 若有正的上自然密度,則塞邁雷迪定理表明包含了任意長度的等差數列。Furstenberg–Sárközy定理表明,內一定存在差為平方數的兩個元素。
其他密度函數
用類似的方法可以定義出自然數集上的其他密度函數。 例如,集合的對數密度(英語:logarithmic density)可以定義為:
- (若極限存在)
同樣也可以定義對應的上對數密度和下對數密度。
相關條目
參考
參考文獻