自然密度

自然密度（英語：natural density），又稱漸進密度（英語：asymptotic density），是數論中度量自然數子集大小的工具之一。

簡介

以平方數集和自然數集的大小關係為例：

平方數集與自然數集都是可數無窮集，我們能夠在兩個集合間建立一一映射（對於任意的自然數$n$都可以找到對應的平方數$n^{2}$與之對應，反之亦然），即兩個集合是等勢的。

然而，這種基於基數的大小比較違反了自然數多於平方數的直觀認識，因為所有平方數都是自然數，而卻有許多自然數不是平方數，且隨着自然數的增大平方數會變得越來越稀少。通過將這種度量集合大小的直覺嚴格化，可以得到自然密度這一概念。

考慮自然數的一個子集$A$和整數區間$[1,n]$：

如果從整數區間$[1,n]$中隨機選取一個整數，那麼這個整數屬於$A$的概率應該等於$A$與整數區間$[1,n]$的交集中的所有元素在整數區間$[1,n]$中的占比。當$n$趨近於無窮時，若上述概率也趨近於某個極限，則將該極限定義為$A$的自然密度。

$A$的自然密度也可以被理解為：任取一個自然數，該自然數屬於$A$的概率。

自然密度（以及一些其他類型的密度）也是概率數論的研究對象。

與施尼勒爾曼密度不同，並不是任何自然數的子集都有自然密度。這是自然密度的一個不足之處。

定義

對於一個自然數集的子集$A$，當$n$趨向於無窮時，若$A$中不大於$n$的元素個數與$n$的比值收斂到$\alpha$，則稱$A$的自然密度為$\alpha$。

更進一步，若定義$a(n)$為$A$里不大於$n$的元素個數，那麼命題「$A$的自然密度為$\alpha$」等效於：

${\frac {a(n)}{n}}\to \alpha$，當$n\to \infty$

從定義中可以看出，若$\alpha$是某個集合$A$的自然密度，則一定有$0\leq \alpha \leq 1$。

上自然密度

設$A$ 是自然數集$\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}$的一個子集。對任何$n\in \mathbb {N}$，定義$A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A$，$a(n)=|A(n)|$。

則$A$的上自然密度（英語：upper asymptotic density）為：

${\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$

其中$\limsup$是上極限。 ${\overline {d}}(A)$也可簡稱為$A$的上密度。 

下自然密度

同樣地，定義A的下自然密度（英語：lower asymptotic density）為：

${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$

自然密度的其他定義方法

1. 由上自然密度和下自然密度的定義，我們也可以說$A$的自然密度$d(A)$是：

若${\overline {d}}(A)={\underline {d}}(A)$，則$d(A)$等於${\overline {d}}(A)$（或${\underline {d}}(A)$ ） 。

2. 自然密度的定義還可以表示為：

$d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$（若極限存在）

3. 可以證明，下述命題也是自然密度的定義：

若將自然數集$\mathbb {N}$的子集$A$寫作一個遞增數列：

$A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \}$

那麼

${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},$

${\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}$

$d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}$（若極限存在）

推廣

一個稍弱的密度定義是 上Banach密度（英語：upper Banach density）。對於$A\subseteq \mathbb {N}$，定義$d^{*}(A)$為：

$d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}$

性質

• 若對於集合$A$存在$d(A)$，則對於其補集$A^{\complement }$，$d(A^{\complement })=1-d(A)$成立。
• 若$d(A)$，$d(B)$及$d(A\cup B)$均存在，則$\max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}$成立。
• 自然數集的自然密度為$1$，即$d(\mathbb {N} )=1$成立。
• 對於自然數集的任意有限子集$F$, 有$d(F)=0$成立。
• 對於平方數集$A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}$，有$d(A)=0$成立。
• 對於偶數集$A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}$，有$d(A)=0.5$成立。更一般地，對於等差級數組成的集合$A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}$，有$d(A)={\frac {1}{a}}$成立。
• 對於質數集合$P$，由質數定理知：$d(P)=0$成立。
• 無平方數因數的數的集合的自然密度為${\frac {6}{\pi ^{2}}}$。更一般地，無$n$次方因數的數的集合的自然密度為${\frac {1}{\zeta (n)}}$，其中$\zeta (n)$是黎曼ζ函數。
• 過剩數集合具有非零的自然密度。Marc Deléglise在1998年證明了過剩數和完全數的集合的自然密度在0.2474與0.2480之間。
• 所有在二進制表示法中位數為奇數的自然數的集合，即$A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\}$，不存在自然密度。這是因為該集合的上自然密度不等於下自然密度。

其上自然密度為：

${\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}$

而其下自然密度為：

${\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}$

• 同樣，所有十進制表示法中以$1$開頭的自然數的集合也不具有自然密度。其上自然密度為${\frac {5}{9}}$而其下自然密度為${\frac {1}{9}}$。
• 對區間[0,1]上的任意Equidistributed序列$\{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$，定義單調集族$\{A_{x}\}_{x\in [0,1]}$:

$A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha _{n}<x\}$

則依定義有：

對於任意的$x$，$d(A_{x})=x$。

• 若$S$有正的上自然密度，則塞邁雷迪定理表明$S$包含了任意長度的等差數列。Furstenberg–Sárközy定理表明，$S$內一定存在差為平方數的兩個元素。

其他密度函數

用類似的方法可以定義出自然數集上的其他密度函數。 例如，集合$A$的對數密度（英語：logarithmic density）可以定義為：

$\mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}$（若極限存在）

同樣也可以定義對應的上對數密度和下對數密度。

相關條目

• 狄利克雷密度
• 施尼勒爾曼密度

參考

• Nathanson, Melvyn B. Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. Springer-Verlag. 2000. ISBN 0387989129. Zbl 0953.11002. 
• Niven, Ivan. The asymptotic density of sequences. Bulletin of the American Mathematical Society. 1951, 57: 420–434 [2018-10-18]. MR 0044561. Zbl 0044.03603. doi:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9. （原始內容存檔於2020-08-21）. 
• Steuding, Jörn. Probabilistic number theory (PDF). 2002 [2014-11-16]. （原始內容 (PDF)存檔於December 22, 2011）. 
• Tenenbaum, Gérald. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46. Cambridge University Press. 1995. Zbl 0831.11001.