在概率論和統計學中,一個概率分布的累積量κn(英語:Cumulant)是指一系列能夠提供和矩一樣的信息的量。累積量和隨機變量的矩密切相關。如果兩個隨機變量的各階矩都一樣,那麼它們的累積量也都一樣,反之亦然。
對於隨機變量
而言,一階累積量等於期望值
,二階累積量等於方差
,三階累積量等於三階中心矩
,但是四階以及更高階的累積量與同階的中心矩並不相等。在某些理論推導中,使用累積量更加方便。特別是當兩個或者更多的隨機變量相互獨立時,它們的
階累積量的和等於它們和的
階累積量。另外,服從正態分布的隨機變量的三階及以上的累積量為
。
定義
一個隨機變量
的
階累積量
可以用累積生成函數來定義
![{\displaystyle K(t)=\log \mathbb {E} e^{tX}=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=:g(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f42f95b719688eae0a59c07a3af5d466dbc204)
從上面的觀察可知,累積量可以通過對生成函數
(在0處)進行求導得到。也就是說,累積量是
的麥克勞林級數的係數。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=g'(0)=\mu '_{1}=\mu ,\\\kappa _{2}&=g''(0)=\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}=\sigma ^{2},\\&{}\ \ \vdots \\\kappa _{n}&=g^{(n)}(0),\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1bf427186b851c019f6d968a04e24553ad56d65)
如果使用
(沒有中心化)的
階矩
和矩生成函數則可以定義:
![{\displaystyle \mathbb {E} (e^{tX})=1+\sum _{m=1}^{\infty }\mu '_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}=e^{g(t)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f710859ca0b958d848cd0b641f5585b5fa04e5)
使用形式冪級數定義的對數函數:
![{\displaystyle {\begin{aligned}g(t)&=\log(\operatorname {E} (e^{tX}))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left(1-\operatorname {E} (e^{tX})\right)^{n}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left(-\sum _{m=1}^{\infty }\mu '_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}\right)^{n}\\&=\mu '_{1}t+\left(\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}\right){\frac {t^{2}}{2!}}+\left(\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu '_{1}+2{\mu '_{1}}^{3}\right){\frac {t^{3}}{3!}}+\cdots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79bf3424b3d0d9635f91831b443bb0330f44e78)
隨機變量的累積量和隨機變量的矩密切相關。比如說,隨機變量X有期望
和方差
,那麼它們也是前兩階的累積量:
。
要注意有時候
階矩會用角括號來表示:
,累積量則用下標
的角括號表示:
。
如果隨機變量的矩生成函數不存在,那麼可以通過後面對於累積量與矩之間的關係的討論定義累積量。
有些作者[1][2]偏向於定義累積生成函數為隨機變量的特徵函數誘導的自然對數。這種定義下的累積生成函數也被稱為隨機變量的第二類特徵函數[3][4]。
![{\displaystyle h(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\log(\operatorname {E} (e^{itX}))=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f28fce61bb36d2d3074bd8538e5efe0ca395108)
統計數學中的應用
使用累積量的一個優勢是它對應的生成函數是加性函數。比如說對兩個獨立的隨機變量
和
,
![{\displaystyle {\begin{aligned}g_{X+Y}(t)&=\log(\operatorname {E} (e^{t(X+Y)}))=\log(\operatorname {E} (e^{tX})\operatorname {E} (e^{tY}))\\&=\log(\operatorname {E} (e^{tX}))+\log(\operatorname {E} (e^{tY}))=g_{X}(t)+g_{Y}(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e423673d3569a6187e1a9ed2d69f929b5bae7608)
它們的和的累積量是各自的累積量的和。
一些具體概率分布的累積量
- 常量
的累積生成函數是
。 一階累積量是
,其他階的累積量均為0,
。
- 服從伯努利分布的隨機變量的累積生成函數是
。一階累積量是
,二階累積量是
,累積量滿足遞推公式
![{\displaystyle \kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd91d4585237e39fbb45744c955337a40faaee1)
- 服從幾何分布的隨機變量的累積生成函數是
。 一階累積量是
,二階累積量是
。
- 服從泊松分布的隨機變量的累積生成函數是
。所有的累積量軍等於參數
:
。
- 服從二項分布的隨機變量的累積生成函數是
。 一階累積量是
,二階累積量是
。
- 服從負二項分布的隨機變量的累積生成函數的導數是
。一階累積量是
,二階累積量是
。
相關條目
參考來源
- ^ Kendall, M.G., Stuart, A. (1969) The Advanced Theory of Statistics, Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)
- ^ Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)
- ^ Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4)
- ^ Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) Independent Component Analysis, John Wiley & Sons. (Section 2.7.2)
外部連結