公元前3世紀,歐幾里得證明了素數有無窮多個。公元十八世紀,歐拉證明了所有素數的倒數之和發散。這裡給出一些證明。
證明一
![{\displaystyle \ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)=\ln \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=\sum _{p}\ln \left({\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=\sum _{p}-\ln(1-p^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02465142c1322b9d26bf76a7e9ee19538ef462f1)
![{\displaystyle =\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{4p^{2}}}+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7719654217fcb01b81c4ae3317b7ca21fe92e163)
![{\displaystyle <\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\left(\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/354b71db5832feff575825e8b640fb0317a76991)
![{\displaystyle =\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b0b5d8c919a098b99e0c26e55d9fb714eff6c0)
因為當n逐漸增大時,前n個整數的倒數之和趨近於ln(n),所以
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots =\ln \ln(+\infty ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb640722ccb668ceacbaccc062b8848946611f4a)
證明二
此證明由保羅·埃爾德什給出。用反證法。
假設所有素數的倒數之和收斂:
定義
為第i個素數,可得到
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{1 \over p_{k}}=c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed8e0c8db14ab04c9e99a51d1f09296104e14e4)
存在一個正整數i使得
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{1 \over p_{i+k}}<{1 \over 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c36aa191d8c28e51b7c582eddb29c33ad583f0)
定義N(x)為不超過x且不能被任何大於第i個素數的素數整除的正整數n的個數。
設
,k不再含平方因子(任何整數都可以這樣)。
由於只有i個素數能整除k,k最多只有
種選擇。
又因為m最多只能取
個值,可得到:
![{\displaystyle N(x)\leq 2^{i}{\sqrt {x}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b414cbb1a286400336e8af11c37f3e5c98b55e3d)
不超過x且能被某些大於第i個素數的素數整除的正整數n的個數為x − N(x)。
因為不超過x且能被p整除的整數最多有x/p個,可得到
![{\displaystyle x-N(x)<\sum _{k=1}^{\infty }{x \over p_{i+k}}<{x \over 2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f81f6506368d9a85de0cd430cc95f1142597df)
或
![{\displaystyle {x \over 2}<N(x)\leq 2^{i}{\sqrt {x}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af939e142d832a8c63569cbc84b8352a705184d)
但這是不可能的。
證畢。
參見
外部連結