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蓋根鮑爾多項式

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蓋根鮑爾多項式

蓋根鮑爾多項式又稱超球多項式,是定義在區間上、權函數為正交多項式。它是勒讓德多項式切比雪夫多項式的推廣,又是雅可比多項式的特殊情況。它以奧地利數學家Leopold Gegenbauer命名。

性質

蓋根鮑爾多項式具有若干性質:

  • 蓋根鮑爾多項式是蓋根鮑爾微分方程的特解 (Suetin 2001):
α = 1/2, 方程約化為勒讓德方程, 蓋根鮑爾多項式約化為勒讓德多項式.
(Abramowitz & Stegun p. 561頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)). 其中(2α)n上升階乘冪. 具體來說,
因而滿足羅德里格公式

正交歸一性

n ≠ m時,對於固定的α和權函數

,

蓋根鮑爾多項式在區間[−1, 1]上加權正交 (Abramowitz & Stegun p. 774頁面存檔備份,存於網際網路檔案館))

歸一性:

應用

蓋根鮑爾多項式作為勒讓德多項式的擴展經常出現在勢理論譜分析中. Rn空間中的牛頓勢可以在α = (n − 2)/2情況下展開為蓋根鮑爾多項式,

n = 3, 可以得到引力勢的勒讓德展開。類似的表達式還有球中泊松核的展開(Stein & Weiss 1971).

當只考慮x時,球諧函數

蓋根鮑爾多項式在正定函數理論中亦有涉及。

另見

參考文獻