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波斯尼科夫塔

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代數拓撲同倫論中,波斯尼科夫塔Postnikov Tower或稱:波斯尼科夫系統)是關於CW復形在同倫意義下進行分解的一種方法。形象地說,給定一個連通的CW復形可以分解成一系列CW復形的逼近,使得每一個復形都是它前面一個復形和一個Eilenberg-McLane空間(Eilenberg-McLance space)的纖維叢乘積。

具體地說,我們有如下定理:

定理: 任給一個連通的CW復形,記其同倫群。對於每一個自然數,存在一組的纖維叢,其纖維(fiber)為,和CW映射,使得

  1. 如下圖表可交換:
  2. 誘導了階數小於等於的同倫群的同構。

在上面的定理中,為Eilenber-McLance空間,即同倫群為,其餘為0的CW復形。我們稱上面的纖維叢序列為Postnikov塔,並且有

構造

上述定理的證明過程實際上就是波斯尼科夫塔的構造過程。我們從構造開始:實際上,對於,我們不停地往其上貼維數大於的胞腔使得的大於階的同倫群都變得平凡,記之為,則我們有

按照同樣的方法,我們可以構造,並且有

代數拓撲裡面的一個定理說,每一個包含映射實際上都可以看成一個纖維叢,那麼把上面這一串包含映射轉換成纖維叢的語言,就得到Postnikov塔,並且可以證明每個纖維都是一個Eilenberg-McLane空間

應用

如前所述,波斯尼科夫塔給出了CW復形的一種同倫意義下的分解。原則上,根據同倫正合列(homotopy exact sequence)或者塞爾譜序列我們可以根據一個CW復形的波斯尼科夫塔計算出該復形的同倫群和同調群

雖然如此,波斯尼科夫塔的應用要等到 D. Quillen,陳國才(K.-T. Chen)特別是 D. Sullivan的有理同倫論發展以後才能夠得到更加精妙的應用。

自1980年代以來,物理特別是量子場論的思想非常深刻地影響了數學的發展。物理學家所用的一些工具,以及思考問題的方法在同倫論中也有所反映。波斯尼科夫塔,有理同倫論,還有前後出現的Stasheff的同倫結合性(homotopy associativity)以及J. P. May等人提出的Operad英語Operad概念,等等,經過量子場論的重新考察,已經非常緊密地聯繫起來,成為代數拓撲裡面一個非常活躍的研究領域。

資料

關於一般的代數拓撲的書,可以參考

  • R. Bott and L. Tu, Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. 此書在中國大陸有影印本,由世界圖書出版公司發行。

關於有理同倫論,特別是Sullivan的思想以及跟Postnikov塔的關係,可以參考

  • P. Griffiths and J. Morgan, Rational homotopy theory and differential forms. Progress in Mathematics, 16. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981.

關於代數拓撲跟量子場論的密切關係,可以參考M. Atiyah, G. Segal以及Kontsevich等人的論文。