李代數上同調
在數學中,李代數上同調是李代數的一種上同調理論,由謝瓦萊和艾倫伯格[1]為了對緊李群的拓撲空間的上同調進行代數構造而建立。在上文提及的論文中,一個特定的被稱作Koszul復形的特殊復形,在李代數的模上定義,而其上同調則以一般形式被構造。
動機
令G為一個緊李群,則其被對應的李代數完全確定,因此由李代數來確定李群上同調應為可能的。我們使用如下的構造。注意到李群的上同調是G上的微分形式構成的復形對應的德拉姆上同調,而這個復形可以被替換為等變微分形式的復形,而後者則可以被看作帶有一個合適的微分算子的李代數的外代數。這一微分算子的構造對於任何李代數都成立,因此被用於定義所有李代數的李代數上同調。更加一般化地,我們可以用類似的構造來定義模係數的李代數上同調。
定義
令是一個交換環R上的一個李代數,其泛包絡代數為;令M為的一個表示(或者,等效地,的一個模)。將R考慮為的一個平凡表示,則可以構造上同調群
(參見Ext函子)。等效地,我們可以將其看作下面這個左正合不變子模函子的右導出函子:
類似地,可以定義李代數同調群為
(參見Tor函子)。我們也可以將其看作下面這個右正合協不變函子的左導出函子:
李代數上同調的重要基本結果包括:懷特海德引理,外爾定理和萊維分解定理。
低維上同調
第零上同調群,由定義,是李代數在模上作用的不變量:
第一上同調群,是所有導子的空間模去內導子空間:
其中導子指一個從李代數到M的映射d使得
若有M內的元素a使得
則稱其為內導子。
第二上同調群
是由M對李代數的李代數擴張的等價類的空間
對於更高維的上同調群,似乎沒有簡單的詮釋存在。
參見
- 理論物理學中的BRST量子化。
注釋
文獻
- Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel, Cohomology Theory of Lie Groups and Lie Algebras, Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society), 1948, 63 (1): 85–124, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990637, MR 0024908, doi:10.2307/1990637
- Hilton, P. J.; Stammbach, U., A course in homological algebra, Graduate Texts in Mathematics 4 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-94823-2, MR 1438546
- Knapp, Anthony W., Lie groups, Lie algebras, and cohomology, Mathematical Notes 34, Princeton University Press, 1988, ISBN 978-0-691-08498-5, MR 0938524