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拉梅函數

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Lame function Maple animation plot

拉梅函數(Lame functions)是下列拉梅方程的解:[1][2][3]

雅可比形式

+ 此拉梅方程的正則奇點在複數平面的 其中 p,q ∈Z,K代表模數為k的完全橢圓積分,K'代表模數為的完全橢圓積分。

其中 k,v 都是實數,並且 ,

代數形式

作雅可比橢圓函數變數替換得拉梅方程的代數形式:

,

此傅克型方程有四個正則奇點

魏爾斯特拉斯形式[3]

其中魏爾斯特拉斯函數

三角函數形式

在雅可比形式的拉梅方程中做代換[4]

可得

在上列方程組 等是實數或複數常數,而各變量為複數。

拉梅方程的本徵值

對於給定的參數v,k,存在四套實數本徵值h,令拉梅方程的奇數解或偶數解有2K或4K周期[5]

本徵值 h 奇偶 周期
2K
4K
4K
2K

拉梅函數

與每一個本徵值對應的本徵函數,稱為v階拉梅函數,其記法及周期性列表於下:[6]

本徵值 h 奇偶 周期 本徵函數(拉梅函數)
2K
4K
4K
2K

其中代表在(0,2K)區間內的零點數。

拉梅函數是Heun函數的特例

Heun方程


令=

則化為拉梅方程

拉梅方程的Heun函數解

由於拉梅方程式是Heun方程的特例,因此拉梅方程可以用HeunG函數表示[7]

其中二個HeunG函數是線性無關的。

拉梅函數的冪級數展開

拉梅函數可以展開成冪級數形式[8]


其中只能取

例子

參考文獻

  1. ^ 王竹溪 第572頁
  2. ^ Whittaker p554
  3. ^ 3.0 3.1 Erdelyi p55
  4. ^ Erdelyi p 56
  5. ^ Frank Oliver p685
  6. ^ Frank, p684
  7. ^ Frank Oliver,p713
  8. ^ 王竹溪 第573頁
  • 王竹溪 郭敦仁 《特殊函數概論》 北京大學出版 2000
  • Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis 1920, Cambridge University Press
  • Erdelyi, Higher Transcendental Functions Vol III