平方根

在數學中，一個數 $x$ 的平方根 $y$ 指的是滿足 $y^{2}=x$ 的數，即平方結果等於 $x$ 的數。例如，4和-4都是16的平方根，因為 $4^{2}=(-4)^{2}=16$ 。

任意非負實數 $x$ 都有唯一的非負平方根，稱為算術平方根或算術平方根（英語：principal square root），記為 ${\sqrt {x}}$ ，其中的符號 ${\sqrt {\quad }}$ 稱作根號。例如，9的算術平方根為3，記作 ${\sqrt {9}}=3$ ，因為 $3^{2}=3\times 3=9$ 並且3非負。被求平方根的數稱作被開方數（英語：radicand），是根號下的數字或者表達式，即例子中的數字9。

正數 $x$ 有兩個互為相反數的平方根：正數 ${\sqrt {x}}$ 與負數 $-{\sqrt {x}}$ ，可以將兩者一起記為 $\pm {\sqrt {x}}$ 。

負數的平方根在複數系中有定義。而實際上，對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其「平方根」（例如矩陣的平方根）。

在MicroSoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt()"表示求主平方根。

歷史

耶魯大學的巴比倫藏品YBC 7289是一塊泥板，製作於前1800年到前1600年之間。泥板上是一個畫了兩條對角線正方形，標註了 ${\sqrt {2}}$ 的六十進制數字 1;24,51,10。^[1]六十進制的 1;24,51,10 即十進制的 1.41421296，精確到了小數點後5位（1.41421356...）。

萊因德數學紙草書大約成書於前1650年，內容抄寫自更早年代的教科書。書中展示了埃及人使用反比法求平方根的過程。^[2]

古印度的《繩法經》大約成書於前800年到前500年之間，書中記載了將2的平方根的計算精確到小數點後5位的方法。

古希臘的《幾何原本》大約成書於前380年，書中還闡述了如果正整數不是完全平方數，那麼它的平方根就一定是無理數——一種無法以兩個整數的比值表示的數（無法寫作m/n，其中m和n是整數）。^[3]

中國的《書》成書於漢朝（約前202年到前186年之間），書中介紹了使用盈不足術求平方根的方法。

古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。

中世紀時，拉丁語中的latus（正方形邊）的首個字母「L」被不少歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中則用橫線當成latus的簡寫，在被開方的數下畫一線。

最有影響的是拉丁語的radix（平方根），1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞（R右下角的有一斜劃，像P和x的合體）；⎷（沒有上面的橫劃）是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用，據說是小寫r的變型；後來數學家笛卡爾給其加上線括號，但與前面的方根符號是分開的（即「⎷‾」），因此在複雜的式子中它顯得很亂。直至18世紀中葉，數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（當根指數為2時，省略不寫），從而形成了現在人們熟知的開方運算符號 ${\sqrt[{n}]{\,\,}}$ 。

正數

$x$ 的平方根亦可用指數表示，如：

x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}

$x$ 的絕對值可用 $x^{2}$ 的算數平方根表示：

|x|={\sqrt {x^{2}}}\left(={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}\right)

若正整數 $x$ 是平方數，則其平方根是整數。若正整數 $x$ 不是平方數，則其平方根是無理數。

對於正數 $x$ 、 $y$ ，以下式成立：

{\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}

負數與複數

正數和負數的平方都是正數，0的平方是0，因此負數沒有實數平方根。然而，我們可以把我們所使用的數字集合擴大，加入負數的平方根，這樣的集合就是複數。首先需要引入一個實數集之外的新數字，記作 $i$ （也可以記作 $j$ ，比如電學場景中 $i$ 一般表示電流），稱之為虛數單位，定義即為 $i^{2}=-1$ ，故 $i$ 是-1的平方根，而且 $(-i)^{2}=i^{2}=-1$ ，所以 $-i$ 也是-1的平方根。通常稱-1的算術平方根是 $i$ ，如果 $x$ 是任意非負實數，則 $-x$ 的算術平方根就是：

{\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}

例如-5的平方根有兩個，它們分別為 ${\sqrt {5}}i$ 和 $-{\sqrt {5}}i$ 。

之所以等式右側（包括其對應的負值）是 $-x$ 的算術平方根，是因為：

(i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x

負數的兩個平方根為一對共軛的純虛數。

對於負數 $x$ 、 $y$ ，以下式成立：

{\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {-x}}\,i\times {\sqrt {-y}}\,i={\sqrt {xy}}\,i^{2}=-{\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\frac {{\sqrt {-x}}i}{{\sqrt {-y}}i}}={\sqrt {\frac {-x}{-y}}}={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}

虛數的算術平方根

虛數 $i$ 的算術平方根可以根據以下公式計算：

{\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)

這個公式可以通過用代數方法推導，只需找到特定的實數 $a$ 和 $b$ ，滿足

{\begin{aligned}i&=(a+bi)^{2}\\&=a^{2}+2abi-b^{2}\end{aligned}}

就可以得到方程組

{\begin{cases}2ab=1\\a^{2}-b^{2}=0\end{cases}}

的解：

a=b=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}

其中，算術平方根即為

a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}

這個公式還可以通過棣莫弗公式得到，設

i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)

就可以推出

{\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left[\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right]^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\end{aligned}}

複數的算術平方根

對於任何一個非零的複數 $z$ 都存在兩個複數 $w$ 使得 $w^{2}=z$ 。

首先，我們將複數 $x+iy$ 看作是平面上的點，即笛卡爾坐標系中的 $(x,y)$ 點。這個點也可以寫作極坐標的 $(r,\varphi )$ ，其中 $r\geq 0$ ，是該點到坐標原點的距離， $\varphi$ 則是從原點到該點的直線與實數坐標軸（ $x$ 軸）的夾角。複分析中，通常把該點記作 $re^{i\varphi }$ 。如果

z=re^{i\varphi },-\pi <\varphi \leq \pi

那麼我們將 $z$ 的算術平方根定義為：

{\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{\frac {i\varphi }{2}}

因此，平方根函數除了在非正實數軸上以外是處處全純的。 ${\sqrt {1+x}}$ 的泰勒級數也適用於複數 $x(\left\vert x\right\vert <1)$ 。

上面的公式還可以用三角函數的形式表達：

{\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)

代數公式

如果使用笛卡爾坐標的形式表達複數 z，其算術平方根可以使用如下公式：^[4]^[5]

{\sqrt {z}}={\sqrt {\frac {|z|+\Re (z)}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {|z|-\Re (z)}{2}}}

其中，方根虛部的符號與被開方數虛部的符號相同（為0時取正）；主值（英語：Principal value）實部永遠非負。

在虛數裡，平方根函數的值不是連續的，以下等式不一定成立：

${\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}$
${\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}$
${\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}$

所以這是錯誤的：

-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1

多項式

例：若 $x\in \mathbb {R}$ ， ${\sqrt {x^{4}+2x^{2}+1}}={\sqrt {(x^{2}+1)^{2}}}=|x^{2}+1|=x^{2}+1\,\!$

2的算術平方根

數學史中，最重要的平方根可以說是 ${\sqrt {2}}$ ，它代表邊長為1的正方形的對角線長，是第一個公認的無理數，也叫畢達哥拉斯常數，其值到小數點14位約為1.4142135623731。

${\sqrt {2}}$ 是無理數，可由歸謬法證明：

設 ${\sqrt {2}}$ 為有理數，可表示為 ${\frac {p}{q}}$ ，其中 $p$ 、 $q$ 為互質之正整數。
因為 $\left({\sqrt {2}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{q^{2}}}=2$ ，故 $p^{2}$ 是2的倍數， $p$ 也是2的倍數，記為 $2k$ ，其中 $k$ 為正整數。
但是 $2q^{2}=p^{2}=4k^{2}$ ，故 $q^{2}=2k^{2}$ ， $q^{2}$ 是2的倍數， $q$ 也是2的倍數。
依上兩式， $p$ 、 $q$ 都是2的倍數，和 $p$ 、 $q$ 為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法，得證 ${\sqrt {2}}$ 不是有理數，即 ${\sqrt {2}}$ 是無理數。

計算方法

因數計算

${\sqrt {24}}={\sqrt {2^{2}\cdot 6}}={\sqrt {2^{2}}}{\sqrt {6}}=2{\sqrt {6}}$ 。

注意，6 的質因數分解為 2 × 3，不能寫成某個數的平方，因此 $2{\sqrt {6}}$ 就是最簡結果。

中算開方

《九章算術》和《孫子算經》都有籌算的開方法。宋代數學家賈憲發明釋鎖開平方法、增乘開平方法；明代數學家王素文，程大位發明珠算開平方法，而朱載堉《算學新說》首創用81位算盤開方，精確到25位數字^[6]。

長除式算法

長除式算平方根的方式也稱為直式開方法，原理是 $.(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+(2a+b)b$ 。

首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開，如98765.432內小數點前的65是一組，87是一組，9是一組，小數點後的43是一組，之後是單獨一個2，要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組，順序為1' 04. 85' 73'。
將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下。
將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。
將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於但最接近上一步所得之差，並將該個個位數記下，且將上一步所得之差減去所得之積。
記下的數一次隔兩位記下。
重覆第3步，直到找到答案。
可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。

下面以 ${\sqrt {200}}$ 為例子：

${\begin{array}{ll}\quad {\color {Red}1}~~{\color {Green}4}.~~{\color {Blue}1}~~{\color {Purple}4}~~{\color {Orange}2}\\{\sqrt {2|00.00|00|00}}\\\quad {\underline {1\quad ~}}&\quad {\color {Red}1}\times {\color {Red}1}\leq 2\\\quad 1~00&a={\color {Red}1}0,b={\color {Green}4}\\\quad {\underline {~~\,96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2{\color {Green}4}\times {\color {Green}4}=96\leq 100\\\qquad ~4~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}0,b={\color {Blue}1}\\\qquad ~{\underline {2~81\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=28{\color {Blue}1}\times {\color {Blue}1}=281\leq 400\\\qquad ~1~19~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}0,b={\color {Purple}4}\\\qquad ~{\underline {1~12~96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=282{\color {Purple}4}\times {\color {Purple}4}=11296\leq 11900\\\qquad \quad ~~6~04~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}{\color {Purple}4}0,b={\color {Orange}2}\\\qquad \quad ~~{\underline {5~65~64}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2828{\color {Orange}2}\times {\color {Orange}2}=56564\leq 60400\\\qquad \quad \quad ~\,38~36\\\end{array}}$

${\sqrt {200}}\approx 14.14213562373095048801668872421$

四捨五入得答案為14.14。

事實上，將算法稍作改動，可以開任何次方的根，詳見n次方算法。

利用高精度長式除法可以計算出1至20的平方根如下：

${\sqrt {1}}$	$=\,$	1
${\sqrt {2}}$	$\approx$	1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
${\sqrt {3}}$	$\approx$	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
${\sqrt {4}}$	$=\,$	2
${\sqrt {5}}$	$\approx$	2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
${\sqrt {6}}$	$\approx$	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
${\sqrt {7}}$	$\approx$	2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
${\sqrt {8}}$	$\approx$	2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
${\sqrt {9}}$	$=\,$	3
${\sqrt {10}}$	$\approx$	3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
${\sqrt {11}}$	$\approx$	3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
${\sqrt {12}}$	$\approx$	3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
${\sqrt {13}}$	$\approx$	3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
${\sqrt {14}}$	$\approx$	3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
${\sqrt {15}}$	$\approx$	3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
${\sqrt {16}}$	$=\,$	4
${\sqrt {17}}$	$\approx$	4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
${\sqrt {18}}$	$\approx$	4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
${\sqrt {19}}$	$\approx$	4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
${\sqrt {20}}$	$\approx$	4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

牛頓法

如果要求 $S\,(S>1)$ 的平方根，選取 $1\,<\,x_{0}\,<\,S$

x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {S}{x_{n}}}\right)

例子：求 ${\sqrt {125348}}$ 至6位有效數字。

x_{0}=3^{6}=729.000\,\!

x_{1}={\frac {1}{2}}\left(x_{0}+{\frac {S}{x_{0}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(729.000+{\frac {125348}{729.000}}\right)=450.472

x_{2}={\frac {1}{2}}\left(x_{1}+{\frac {S}{x_{1}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(450.472+{\frac {125348}{450.472}}\right)=364.365

x_{3}={\frac {1}{2}}\left(x_{2}+{\frac {S}{x_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(364.365+{\frac {125348}{364.365}}\right)=354.191

x_{4}={\frac {1}{2}}\left(x_{3}+{\frac {S}{x_{3}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.191+{\frac {125348}{354.191}}\right)=354.045

x_{5}={\frac {1}{2}}\left(x_{4}+{\frac {S}{x_{4}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.045+{\frac {125348}{354.045}}\right)=354.045

因此 ${\sqrt {125348}}\approx 354.045$ .

連分數

平方根可以簡便地用連分數的形式表示，關於連分數請見連分數，其中1至20的算術平方根分別可用連分數表示為：
${\sqrt {1}}=1$
${\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2...]$
${\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2...]$
${\sqrt {4}}=2$
${\sqrt {5}}=[2;4,4,4,4...]$
${\sqrt {6}}=[2;2,4,2,4...]$
${\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...]$
${\sqrt {8}}=[2;1,4,1,4...]$
${\sqrt {9}}=3$
${\sqrt {10}}=[3;6,6,6,6...]$
${\sqrt {11}}=[3;3,6,3,6...]$
${\sqrt {12}}=[3;2,6,2,6...]$
${\sqrt {13}}=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...]$
${\sqrt {14}}=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...]$
${\sqrt {15}}=[3;1,6,1,6...]$
${\sqrt {16}}=4$
${\sqrt {17}}=[4;8,8,8,8...]$
${\sqrt {18}}=[4;4,8,4,8...]$
${\sqrt {19}}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...]$
${\sqrt {20}}=[4;2,8,2,8...]$

連分數部分均循環，省略號前為2或4個循環節。

巴比倫方法

主條目：巴比倫方法（英語：Babylonian method）

巴比倫求平方根的算法實際上很簡單：（假設要求一個數N的平方根）

預測一個平方根 $x$ ，初始另一個值 $y$ ，且 $xy=N$
求預測值與初始值的均值： $x={\frac {x+y}{2}}$ , $y={\frac {N}{x}}$
比較 $x$ 和 $y$ 的差值是否達到精度，如果無，繼續步驟

重複的算術運算

這個方法是從佩爾方程演變過來的，它通過不斷減去奇數來求得答案。

尺規作圖

問題

給定線段AB和1，求一條長為 ${\sqrt {AB}}$ 的線段。

解法

畫線AB，延長BA至C使 $AC=1$
以BC的中點為圓心，OC為半徑畫圓
過A畫BC的垂直線，垂直線和圓弧交於D，AD即為所求之長度

證明

將整個過程搬到直角座標上，已知AC=1，設

O= $(0,0)$
AB= $n$

直徑為BC的圓就是 $x^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}$ （圓的方程式： $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ）（其中 $r$ 表示半徑。）
將 $\left({\frac {n+1}{2}}-1\right)$ （A,D所在的x座標）代入上面的方程式
$\left({\frac {n+1}{2}}-1\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}$
解方程，得 $y={\sqrt {n}}$ 。

另也可參見射影定理。

參見

外部連結

Earliest Uses of Symbols of Operation（英文）
The History of Mathematical Symbols: The radical symbol
開方公式的推導（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平方根計算器（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）

參考資料

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^ Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons. 2008: 59. ISBN 0-470-25952-3. （原始內容存檔於2016-04-23）.
^ 勞漢生《珠算與實用算術》ISBN 7-5375-1891-2/O

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[3] Heath, Sir Thomas L. The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. 1908: 3.

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