岩澤分解

數學中，半單李群的岩澤分解 KAN 推廣了實方陣能寫成一個正交矩陣和上三角矩陣的乘積（格拉姆-施密特正交化之推論）。以創立者日本數學家岩澤健吉命名。

定義

G 是一個連通半單實李群。
${\mathfrak {g}}_{0}$ 是 G 的李代數。
${\mathfrak {g}}$ 是 ${\mathfrak {g}}_{0}$ 的復化。
θ 是 ${\mathfrak {g}}_{0}$ 的一個嘉當對合。
${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}$ 是相應的嘉當分解。
${\mathfrak {a}}_{0}$ 是 ${\mathfrak {p}}_{0}$ 的一個極大阿貝爾子空間。
Σ 是 ${\mathfrak {a}}_{0}$ 的限定根，對應於 ${\mathfrak {a}}_{0}$ 作用在 ${\mathfrak {g}}_{0}$ 上的特徵值。
Σ⁺ 是 Σ 的正根。
${\mathfrak {n}}_{0}$ 是由 Σ⁺ 的根空間的和給出的冪零李代數。
K,A, N 分別是由 ${\mathfrak {k}}_{0},{\mathfrak {a}}_{0}$ 和 ${\mathfrak {n}}_{0}$ 生成的子群。

那麼， ${\mathfrak {g}}_{0}$ 的岩澤分解為

{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}+{\mathfrak {a}}_{0}+{\mathfrak {n}}_{0}

，

G 的岩澤分解為：

G=KAN

A （或等價的 ${\mathfrak {a}}_{0}$ ）的維數稱為 G的實秩。

岩澤分解對一些不連通半單李群G 也成立，此時 K 為（不連通）極大緊子群並假定 G 的中心有限。

如果 G=GL_n(R)，那麼可取 K 為正交矩陣，A 為正對角矩陣，N 為冪幺群（對角元全1的上三角矩陣）。

Fedenko, A.S.; Shtern, A.I., I/i053060, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
A. W. Knapp, Structure theory of semisimple Lie groups, in ISBN 0-8218-0609-2: Representation Theory and Automorphic Forms: Instructional Conference, International Centre for Mathematical Sciences, March 1996, Edinburgh, Scotland (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics) by T. N. Bailey (Editor), Anthony W. Knapp (Editor)

岩澤健吉，On some types of topological groups. Annals of Mathematics (2) 50, (1949), 507–558.