奇異邊界法
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奇異邊界法(Singular boundary method)是一種與邊界元法相對應的邊界型數值計算方法,同基本解法[1]、邊界節點法[2]、去奇異無網格法[3]、邊界粒子法[4]和改進的基本解法[5]等同屬於邊界型無網格數值離散方法。該類方法的共同特點是通過節點信息建立插值基函數,不需要對區域或者其邊界作網格劃分,克服了傳統基於網格的方法(如有限元法、有限差分法和邊界元法)對網格的依賴性,特別適合於求解大變形問題、移動邊界問題、反問題、薄體結構問題、和複雜-高維幾何區域等問題。
發展歷史:
奇異邊界法最初於2009年[6]提出。該方法使用基本解作為插值基函數,並直接將插值源點布置在問題的真實邊界上,克服了傳統基本解方法中最複雜最頭疼的虛擬邊界問題。為避免配置點與插值源點重合時帶來的基本解源點奇異性,該方法首次提出了源點強度因子的概念,從而將邊界型強格式方法的核心歸結為求解源點強度因子。目前,該方法已成功應用於求解位勢問題[7][8]、無限域問題[9]、彈性力學問題[10]等。
目前發展了兩種方法來計算源點強度因子。第一種方法採用一種反插值的數值處理技術間接求解源點強度因子。該方法首先需要在物理域內布置一組與邊界源點不重合的內部點(稱之為樣本點),然後通過求解一個代數方程組來間接計算源點強度因子;第二種方法基於邊界元法中處理奇異積分的技術與方法,直接導出了源點強度因子的解析表達式[11]。數值算例表明,第二種方法更為穩定,精度更高。
最新進展
邊界層效應
當配置點接近但又不在邊界單元時,配置點與源點的距離不等於零但又十分趨近於零。從數學的意義上,基本解此時是非奇異的。但是從計算的角度講,當配置點接近邊界時,基本解表現出劇烈的震盪特性,產生所謂的「幾乎奇異性」,反應了邊界型方法中的邊界層效應(Boundary layer effect)問題[12]。
針對奇異邊界法中的邊界層效應問題,文[13]採用一類非線性變量替換法,有效地改善了近邊界點基本解的震盪特性,消除了基本解的幾乎奇異性。在不增加計算量的情況下,極大地改進了幾乎奇異核函數的計算精度,成功求解了近邊界點上的力學參量,克服了邊界層效應問題。數值試驗結果表明,即使配置點和邊界的距離達到1.0E-10的數量級,依然能取得理想的數值結果。
大規模問題
同基本解法和邊界元法類似,奇異邊界法形成的係數矩陣通常是非對稱的稠密矩陣。如果邊界總的自由度是N的量級,計算和存儲這樣的係數矩陣則需要O(N2) 的量級,使得常規求解技術效率較低。快速多極算法能將計算量和存儲量都降至O(NlogN)甚至O(N)。從而使奇異邊界法快速、準確的求解大規模複雜工程問題成為可能。
參考文獻
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