外爾特徵標公式

外爾特徵標公式（Weyl's character formula) 描述緊李羣不可約表示的特徵標。其名來自證明者赫爾曼·外爾。

定義：羣G的表示r的特徵標為一函數 $\chi :G\rightarrow C$，$\chi (g):=Tr(r(g))$，其中Tr 為線性算子之跡。 （由彼得-外爾定理 可知緊李羣的任何不可約表示都是有限維的；故跡之定義為線性代數中之定義。）

特徵標 χ 記住了表示 r 本身的重要訊息。 外爾特徵標公式用羣G的其他資料來表達 χ 。 本文考慮複表示，不失一般亦設其為酉表示，因而「不可約」亦等價於「不可分解」（即非二子表示之直和）。

公式

緊李羣G 之不可約表示之特徵標符合下式：

${\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda +\rho }) \over e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}$

其中

• ρ 為羣G 之外爾向量，即各正根之和之半；
• W 為 外爾羣；
• λ 為不可約表示之 最高權；
• α 遍歴G之每一正根。

外爾分母公式

在 1 維表示的特例中，特徵標為 1, 而外爾特徵標公式簡化成 外爾分母公式：

${\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\rho })=e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}.$

若G為特殊么正羣，則簡化成范德蒙行列式的等式：

$\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$。

外爾維度公式

若只考慮單位元1之跡，則外爾特徵標公式 特殊化成 外爾維數公式

$\dim(V_{\Lambda })={\prod _{\alpha >0}(\Lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}$,

$\dim(V_{\Lambda })={\prod _{\alpha >0}(\Lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}$

其中

• V_Λ為有限維表示，其最高權為Λ；
• ρ為外爾向量，
• α 遍歴所有正根。

由於式中分子與分母俱為高階零，故必須取G中之元素漸近單位元1時之極限。

Freudenthal 公式

Hans Freudenthal發現了權重數符合之一遞歸公式。此公式等價於外爾特徵標公式，而在某些情況下更簡便。式曰：

$((\Lambda +\rho )^{2}-(\lambda +\rho )^{2})\dim V_{\lambda }=2\sum _{\alpha >0}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )\dim V_{\lambda +j\alpha }$；

其中

• Λ 為一最高權，
• λ 為另一權，
• dim V_λ 為權λ 之重數，
• ρ 為外爾向量，
• 外和中之 α 歴遍所有正根。

外爾-Kac 特徵標公式

外爾特徵標公式 亦適用於卡茨-穆迪代數之可積最高權表示 ——外爾-Kac 特特徵標公式。同樣地，分母恆等式亦可推廣至卡茨-穆迪代數，其在仿射李代數之特例成為Macdonald 恆等式。其在 A₁ 仿射李代數之例成為經典的 雅可比三重乘積恆等式：

$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.$

此特徵公式可推廣至廣義卡茨-穆迪代數之可積最高權表示：

${\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}$

其中 S 為一修正項：

$S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}$

其中 I歴遍虛簡單根集內 所有與最高權$\lambda$ 正交、且互相正交之有限子集；|I| 集 I 之基數，而 ΣI為集 I 內元素之和。

而Monster 李代數之 分母公式 則為橢圓模函數j之積公式：

$j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}$。

Peterson 發現了（廣義）可對稱化卡茨-穆迪代數之根重數 mult(β) 遞歸公式。此公式等價於外爾-卡茨分母公式，但更便於計算：

$(\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta }$,

其中γ 與 δ 遍歴所有正根，而

$c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{{\rm {mult}}(\beta /n) \over n}$。

參攷

• Infinite dimensional Lie algebras, V. G. Kac, ISBN 0-521-37215-1
• Duncan J. Melville, Weyl–Kac character formula, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4