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可收縮空間

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一些可收縮空間和不可收縮空間的說明,空間A、B、C是可收縮的,D、E、F不是。
拓撲空間X上的恆等映射是零倫的(即與某常數映射同倫),則稱拓撲空間是可收縮空間[1][2]直觀地說,可收縮空間就是可以不斷收縮到某點的空間。

性質

可收縮空間是具有點的同倫類的空間;可見,可收縮空間的所有同倫群都是平凡群。因此,任何具有非平凡同倫群的空間都不可收縮;由於奇異同調是同倫不變量,因此可收縮空間的既約同調群都是平凡的。

對拓撲空間X,下面這些情況等價:

  • X是可收縮的(即恆等映射零倫)
  • X與單點空間同倫等價
  • X收縮到一點上(不過也存在不強烈收縮到一點的可收縮空間)
  • 對任意路徑連通空間Y,任意兩映射f,g: XY同倫
  • 對任意空間Y,任意映射f: YX是零倫的。

空間X上的都可收縮。於是,任何空間都可嵌入到可收縮空間(這也說明,可收縮空間的子空間不一定可收縮)。

此外,當且僅當存在X的錐到X收縮時,X才可收縮。

可收縮空間都是道路聯通單連通的。另外,由於所有更高的同倫群都為零,因此對所有n ≥ 0,每個可收縮空間都是n-連通的。

局部可收縮空間

若對點x的所有鄰域U,都有U中的x的鄰域V使V的包含在U中零倫,則稱拓撲空間X在點x局部可收縮。若空間在每點都可收縮,則稱空間為局部可收縮空間。這個定義有時也稱作「幾何拓撲學家的局部可收縮」,是這術語最常見的用法。艾倫·哈切爾的標準代數拓撲學文本中,這個定義被稱作「弱局部可收縮」,還有其他用途。

若每點都有可收縮鄰域的鄰域基,則稱X強局部可收縮的。可收縮空間不一定是局部可收縮的,反之亦然。例如,梳空間是可收縮的,但不是局部可收縮的(若是,則就會是局部連通的,但並不是)。局部可收縮空間是局部n連通的(n ≥ 0),還是局部單聯通空間局部路徑連通、局部連通的。圓是(強)局部可收縮空間,但不是可收縮空間。

強局部可收縮性是嚴格強於局部可收縮性的性質,反例是複雜的,第一個反例由卡羅爾·博蘇克和Mazurkiewicz在論文Sur les rétractes absolus indécomposables, C.R.. Acad. Sci. Paris 199 (1934), 110-112)中給出。

關於哪個定義才是局部可收縮的「標準」定義,有一些分歧;第一個定義更常用於幾何拓撲,歷史上尤多,而第二個定義更符合「局部」一詞在拓撲性質方面的典型用法。在解釋有關這些性質的結果時,應始終注意定義。

例子與反例

參考文獻

  1. ^ Munkres, James R. Topology 2nd. Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2. 
  2. ^ Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2023-12-11]. ISBN 0-521-79540-0. (原始內容存檔於2012-02-06).