盧卡斯數是一個以數學家愛德華·盧卡斯命名的整數序列,他既研究了這個數列,也研究了有密切關係的斐波那契數。與斐波那契數一樣,每一個盧卡斯數都定義為前兩項之和,也就是說,它是一個斐波那契整數序列。兩個相鄰的盧卡斯數之比收斂於黃金分割比。
但是,最初兩個盧卡斯數是L0 = 2和L1 = 1,而不是0和1。所以,盧卡斯數的性質與斐波那契數的性質有些不同。
盧卡斯數可以定義如下:
![{\displaystyle L_{n}=L(n)={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\L(n-1)+L(n-2)&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0eafa2a8c279d4121b1b6d20e1bcf9a02ecc544)
前幾個盧卡斯數是:
- 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ... (OEIS數列A000032)
延伸到負數
用Ln-2 = Ln - Ln-1的公式,我們可以把盧卡斯數延伸到負數。這樣我們得到以下數列:
(... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...)
一般地,我們有
![{\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0b110d9c10a08c19f2106f6e5a4cf11b8a14c8)
與斐波那契數的關係
盧卡斯數與斐波那契數有以下關係:
![{\displaystyle \,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc47b7453529263e8cb602ff1583386fc71c916)
,因此,當
趨近於無窮大時,
趨近於
。
![{\displaystyle \,F_{2n}=L_{n}F_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e4162fa3d63b41229dc5ac88f81bf04b63bf10)
![{\displaystyle \,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4c5a209de79dab82f0b63aee728536f58949a5)
通項公式為:
![{\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb560884b301a295339a5674eb4f4f2ec81295ab)
其中
是黃金分割比。
同餘關係
如果n是素數,則Ln被n除餘1,但某些合數也具有這個性質。
盧卡斯素數
盧卡斯素數就是既是盧卡斯數又是素數的整數。最小的幾個盧卡斯素數為:
2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ... (OEIS數列A005479)
除了n = 0、4、8、16的情況外,如果Ln是素數,則n是素數。但是,它的逆命題不成立。
參考
參考文獻
- Hoggatt, V. E. Jr. The Fibonacci and Lucas numbers. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.
- Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).
外部連結