xy-圖展示出函數
的勒壤得轉換。函數用紅色表示,在切點
的切線用藍色表示。切線與 y-軸相交於點
;這裏,
是勒壤得轉換
的值,
。特別注意,穿過在紅線上任何其它點,而擁有同樣斜率
的直線,其與 y-軸相交點必定比點
高,證明
確實是極大值。
勒壤得轉換(英語:Legendre transformation)是一個在數學和物理中常見的技巧,得名於阿德里安-馬裡·勒壤得(Adrien-Marie Legendre)。該操作是一個實變量的實值凸函數的對合變換。它經常用於經典力學中從拉格朗日形式到哈密頓形式的推導、熱力學中熱力學勢的推導以及多變量微分方程的求解。
概述
為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構,表述此系統的函數關係
改用一個新函數
來表示,其變數
是
的導數,
。而
的值是如右圖藍線在 y 軸的負截距
換句話說,從
x 值到 y 值的函數,轉換成
f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數
這程序是由阿德里安-馬裡·勒壤得所發明的,因此稱為勒壤得轉換。稱函數
為
的勒壤得轉換;
用方程式表示
。
此式子表示
中的 u 對
而言是個參數,且參數 u 會滿足
的
。即求算表達式關於變數
的極值。
為方便討論,把討論限定在
為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在
也就是斜率不變的狀況下,對每個
而言,所有與曲線
相交且斜率為
的直線族為
。若令
,該直線即是
在
的切線方程式。把x當作常數並由右圖直接觀察可知,在
的情況下,
值是最小的,也就是說直線方程式中
這部分是最大的,而正好
,正是原方程式所求的極值。
勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係(duality)的一個應用。函數
設定的函數關係可以用
點集合來表示;也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下,切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。
若將勒壤得轉換廣義化,則會變為勒壤得-芬伽轉換(Legendre-Fenchel transformation)。勒壤得轉換時常用於熱力學與哈密頓力學。
定義
給定區間I ⊂ ℝ和凸函數f : I → ℝ,則其勒讓德變換為函數f* : I* → ℝ,
![{\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x)),\quad x^{*}\in I^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7394d55099ad8c527fd1a6ef9352bb129439a470)
其中
表示上確界,定義域
為
![{\displaystyle I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x))<\infty \right\}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a5367f3ba568dce7969356d48d4c238bb9b192)
當f(x)為凸函數時,這個函數有良好的定義。
不難將勒讓德變換推廣到定義在凸集X ⊂ ℝn 上的凸函數f : X → ℝ:其變換f * : X* → ℝ為定義在
![{\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966e25e4a4e9141f5d0c46e7d38e693325d8fa8e)
上的函數
![{\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f72ec2886c09232ee2f0aeddeeff270e10d740)
其中
表示x*和 x的點積。
從導數的角度理解勒讓德變換
對於實軸上具有可逆一階導數的凸函數
,其勒讓德變換
的一階導數與
的一階導數互為反函數,反過來說,這個條件可以給出至多相差一個常數的
。
最大值式定義
更詳細地定義勒壤得轉換,為了求得
關於
的最大值,設定
關於
的偏導數為零:
。
則
。(1)
這表達式必為最大值。因為,凸函數
的二階導數是負數:
;
用方程式 (1) 來計算函數
的反函數
。代入
方程式,即可以得到想要的形式:
。
計算
的勒壤得轉換,所需的步驟為:
- 找出導函數
,
- 計算導函數
的反函數
,
- 代入
方程式來求得新函數
。
這定義切確地闡明:勒壤得轉換製造出一個新函數
;其新自變數為
。
反函數式定義
另外一種勒壤得轉換的定義是:假若兩個函數
與
的一階導數是互相的反函數;
,
或者,
,
則
與
互相為彼此的勒壤得轉換。
依照定義,
,
。
思考下述運算:
。
所以,
;
這裏,
。
這答案是標準答案;但並不是唯一的答案。設定
,
也可以滿足定義的要求。在某些情況下(例如:熱力勢(thermodynamic potential),會採用非標準的答案。除非另外註明,此頁面一律採用標準答案。
數學性質
以下討論,函數
的勒壤得轉換皆標記為
。
標度性質
勒壤得轉換有以下這些標度性質:
,
,
由此可知,一個
次齊次函數的勒壤得轉換是一個
次齊次函數;這裏,
。
平移性質
,
。
反演性質
。
線形變換性質
讓
成為一個從
到
的線形變換。對於任何定義域為
的凸函數
,必有
;
這裏,
是
的伴隨算子定義為
。
例子
例一
ex(紅色實線)與其勒讓德變換(藍色虛線)。
指數函數
![{\displaystyle f(x)=e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd65bb8c6bd27613de9dac411434bc434dcac468)
的勒讓德變換為
,
因為它們的一階導數 ex與 ln p互為反函數。
應用
勒壤得轉換
熱力學
在熱力學裏,使用勒壤得轉換主要的目的是,將一個函數與所含有的一個自變數,轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數,(此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數);將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積,得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢(thermodynamic potential)之間作轉換。例如,內能
是外延量(extensive)熵
,體積
,與化學成份(chemical composition)
的顯函數
。
對於
,函數
(非標準的)勒壤得轉換為焓函數
:
,
。
一個熵與內含量(intensive)壓力的函數。當壓力是常數時,這函數很有用。
對於
,函數
勒壤得轉換為吉布斯能函數
:
,
。
對於
,函數
勒壤得轉換為亥姆霍茲自由能函數
:
,
。
這些自由能函數時常用在常溫的物理系統。
古典力學(哈密頓力學)
在經典力學裏,勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述,或反導之。拉格朗日量
是廣義坐標
與廣義速度
的函數;而哈密頓量
將函數的自變量轉換為廣義坐標
與廣義動量
:
,
。
正則變換
正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種正則坐標的改變,
,而同時維持哈密頓方程式的形式,雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為
,
,
;
這裏,
是舊正則坐標,
是新正則坐標,
是舊哈密頓量,
是新哈密頓量,
是生成函數。
參閱
參考文獻
- Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3.
- Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4.