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克雷洛夫子空間

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線性代數中,由n方陣An維向量b生成的r克雷洛夫子空間bA的前r次冪下(始於)的列空間張成線性子空間,即[1][2]

背景

這一概念得名於蘇聯應用數學家、海軍工程師Alexei Krylov,他在1931年發表了一篇關於這一概念的論文。[3]

性質

  • .
  • ,則是線性無關的,除非。因此是克雷洛夫子空間的最大維度。
  • 最大維度滿足.
  • 考慮,其中A極小多項式。我們有。此外,對它來說此約束是緊密的,即
  • 是由b產生的扭化-模的循環子模,其中k上的線性空間。
  • 可分解為克雷洛夫子空間的直和。[需要解釋]

使用

克雷洛夫子空間用於尋找高維線性代數問題的近似解。[2]控制論的很多線性動態系統檢測,特別是與可控制性可觀測性相關的測試,都要檢查克雷洛夫子空間的秩。測試等同於尋找與系統/輸出映射相關的格拉姆行列式的張成空間,因此不可控與不可觀測子空間只是克雷洛夫子空間的正交補。[4] 阿諾德迭代法等現代迭代法可用於尋找大型稀疏矩陣的特徵值,或求解大型線性方程組。這些方法儘量避免矩陣間的運算,而將向量與矩陣相乘。從向量b開始,可以計算,然後將向量與A相乘,求得等等。所有這樣的算法都稱作克雷洛夫子空間方法,是目前數值線性代數中最成功的方法之一。這些方法可用於能計算矩陣-向量乘法而無A的顯式表示的情形,從而產生了無矩陣法

問題

由於冪迭代的特性,向量很快就會變得近乎線性相關,因此依賴於克雷洛夫子空間的方法經常要正交化,例如厄米矩陣蘭佐斯算法或更一般矩陣的阿諾德迭代法

現有方法

最著名的克雷洛夫法有共軛梯度法、誘導降維法、廣義最小殘量方法穩定雙共軛梯度法、准最小殘差法、無轉置准最小殘差法、最小殘差法等等。

另見

參考文獻

  1. ^ Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. Numerical optimization. Springer series in operation research and financial engineering 2nd. New York, NY: Springer. 2006: 108. ISBN 978-0-387-30303-1. 
  2. ^ 2.0 2.1 Simoncini, Valeria, Krylov Subspaces, Nicholas J. Higham; et al (編), The Princeton Companion to Applied Mathematics, Princeton University Press: 113–114, 2015 
  3. ^ Krylov, A. N. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем [On the Numerical Solution of Equation by Which are Determined in Technical Problems the Frequencies of Small Vibrations of Material Systems]. Izvestiia Akademii Nauk SSSR. 1931, 7 (4): 491–539 (俄語). 
  4. ^ Hespanha, Joao, Linear Systems Theory, Princeton University Press, 2017 

閱讀更多

  • Nevanlinna, Olavi. Convergence of iterations for linear equations. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Basel: Birkhäuser Verlag. 1993: viii+177 pp. ISBN 3-7643-2865-7. MR 1217705. 
  • Saad, Yousef. Iterative methods for sparse linear systems需要免費註冊 2nd. SIAM. 2003. ISBN 0-89871-534-2. OCLC 51266114. 
  • Gerard Meurant and Jurjen Duintjer Tebbens: 」Krylov methods for nonsymmetric linear systems - From theory to computations」, Springer Series in Computational Mathematics, vol.57, (Oct. 2020). ISBN 978-3-030-55250-3, url=https://doi.org/10.1007/978-3-030-55251-0.
  • Iman Farahbakhsh: "Krylov Subspace Methods with Application in Incompressible Fluid Flow Solvers", Wiley, ISBN 978-1119618683 (Sep., 2020).